试述导数在解决实际问题中的应用

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1、试述导数在解决实际问题中的应用实际问题中，经常遇到解决“利润最大”、“用料最省”、等问题，这些我们都称为“最优化问题”，而这些问题的解决，在数学上大多需要建立数学模型，多是函数模型，然后去求函数的最值问题。还原到实际问题中，其中解决数学问题时的求最大、最小值得问题常常利用导数来解决。这就是导数在解决实际问题中的应用。解决这类问题的一般步骤：（1）分析实际问题中各量之间的关系，建立函数模型。写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)。（2）求函数y=f(x)的导数y=f'(x),解方程，求f'(x)=0在定义域内的根，通过判

2、断单调性确定极值点。（3）比较函数在区间端点和极值点的函数值，获得所求的最大（小）值。（4）结合实际问题作答。例1.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．4分析：这是一个实际问题，不过是直接给了函数，可以直接用求导方法来解决。解：(Ⅰ)因为时，所以；(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量，所以商

3、场每日销售该商品所获得的利润：；，令得函数在上递增，在上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.例2提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位

4、时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）分析：可以根据题意先把函数表达式列出来，再用求导方法来解决。4解析：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得故函数的表达式为=（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，，当且仅当，即时，等号成立．所以，当时，在区间上取得最大值．综上，当时，在区间上取得最大值，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．例3请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边

5、长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得4四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.答案：（1）根据题意有所以x=15cm时包装盒侧面积S最大.（2）根据题意有，所以，经验证知当x=20时，V取极大值也是最大值.此时，包装盒的高

6、与底面边长的比值为.即x=20包装盒容积V（cm）最大,此时包装盒的高与底面边长的比值为。在应用时，应注意建立模型时变量的范围，特别是区间端点能不能取到是关键点，再有求出极值后要与端点处的函数值进行比较才能确定结果。4