非匹配摄动系统协方差矩阵的定界估计

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1、非匹配摄动系统协方差矩阵的定界估计引　言　　在现代火控系统设计时，为了提高对机动目标的毁伤概率及跟踪性能，期望在某一有限的空间动态区域中，弹丸具有等概率分布的特性，或者动目标在该空间区域中出现的概率最大。由此引入了区域目标函数作为其性能指标［1］。如射击门、未来/现在空域窗及电视跟踪视场等等，这些性能指标均是系统稳态状态/输出协方差矩阵的函数。协方差配置控制理论的基本方法是［2］：对于给定的协方差矩阵，设计控制器，使闭环系统的方差特性匹配给定的协方差矩阵，系统因此达到所期望的性能。另一方面，具有行进间射击能力的车载火控系统其模型阶数

2、往往极高，若不作模型简化处理则难以用于工程设计之中。模型简化的准则是［7］寻求指定阶数的低阶简化模型，使之与满阶模型具有基本相同的稳态/动态特性。环形区域极点/协方差等价实现的基本思想是构造指定阶数的降阶模型，使其极点分布所在的环形区域完全覆盖满阶模型的主导极点群，且其稳态状态协方差等于满阶模型的输出协方差。显然，随机系统方差特性的研究，在系统性能指标的确定、控制设计及模型简化中起着重要的先导作用。　　在实际工程设计中，模型的结构摄动是不可避免的，它使得系统稳态状态/输出协方差矩阵随之变化。若由于系统的结构摄动而无法确定其协方差矩阵

3、，则不仅系统的区域目标函数难以界定，而且协方差配置/实现等设计方法就失去了前提条件。文献［3，4］在A阵的不确定性满足匹配及约束条件下，研究了系统协方差矩阵的上下界估计问题，但需求解高阶矩阵方程［3］文献［5］则进一步考虑了噪声矩阵的不确定性，推广了文献［3，4］的结果。本文在系统矩阵和噪声矩阵的不确定性无需匹配约束的条件下，继续研究离散随机系统协方差矩阵的定界问题，结果表明系统协方差的上下界可通过求解两个代数Riccati方程而获得，并说明了该方法在火控系统模型简化中的应用。与文献［3，4，5］相比，本文有关不确定性的刻划更具一般

4、性，且无需求解高阶矩阵方程〔3〕。1　问题的描述　　考虑如下含结构摄动的离散随机系统　　(1.1)　　其中x(k)∈Rnx,w(k)∈Rnu,A，D为适维定常矩阵，w(k)是强度为I的零均值高斯白噪声序列；r(δ)、h(δ)为不确定参数向量，体现了实际系统中的参数摄动；σ是未知量或慢时变量，ΔA(.)、ΔD(.)分别依赖r和h，且分别在RfrRfh上连续，r(.)和h(.)均为Lebesgue可测的，其值域分别属于紧集Πr和Πh:　　(1.1)　　(1.2)　　现对摄动矩阵的乘积作秩一分解。设ΔA(r(σ))的元素，这里的Δaij≥

5、0为确定性量，rij(σ)为不确定性量，设，则　　(1.3)秩1之和的表达式为　　(1.4)　　其中rank(A*i)＝1，i＝1，2…，fa,fa:≥fr，可推知A*i＝dieTi，i=1，2…fa　　(1.5)　　这里di、ei∈Rnx，均为单一元素的非零向量，其非零元素可取。令　　(1.6)显然有Ta＝TTa≥0及Wa＝WTa≥0。类似地，有　　(1.7)rank(D*i)＝1　　及　　D*i＝figTi　　(1.8)　　(1.9)同样有Td＝TTd≥0,Wd＝WTd≥0成立。令　　(1.10)这里λm(.)表示(.)的最大特

6、征值。引理1.1　对于摄动矩阵ΔA(r(σ))∈Πr及ΔD(h(σ))∈Πh，有ΔA(r(σ))ΔAT(r(σ))≤ηaI　　(1.11)ΔD(h(σ))ΔDT(h(σ))≤ηdI　　(1.12)证明(略)。当A+ΔA(r(σ))渐近稳定时，系统(1.1)的稳态状态协方差矩阵 　　(1.13)　存在且为如下离散Lyapunov方程的唯一正定解［2］P＝(A+ΔA(r(σ)))P(A+ΔA(r(σ)))T+(D+ΔD(h(σ)))(D+ΔD(h(σ)))T　　(1.14)　　上式表明，系统(1.1)的稳态协方差矩阵P受结构摄动(ΔA(

7、r(σ))，ΔD(h(σ))的影响而在一定范围内变化。本文研究的目的是：对于系统(1.1)，确定其上界P与下界R，使基于协方差配置/实现的设计方法成为可能。2　协方差矩阵的上下界估计引理2.1　对于给定的正定矩阵Q＜I，有［A+ΔA(r(σ))］Q［A+ΔA(r(σ))］T≤AQAT+AQ(I-Q)-1QAT+ηaI(2.1)　证明　令　　　　(2.2)由引理1.1可知　ΔA(r(σ))ΔAT(r(σ))≤ηaI，则　　　　(2.3)由(2.3)式即得(2.1)式。引理2.2　对于系统(1.1)用常数a＞0，有［D+ΔD(h(σ))

8、］［D+ΔD(h(σ))］T≤(a+1)(a-1DDT+ηaI)　　(2.4)证明　令　　　(2.5)根据引理1.1，可得　　0≤S(h(σ))ST(h(σ))　　　=a-1DDT-DΔDT(h(σ))-ΔD(h(σ))DT+aΔD(