运动路径参考问题详解

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1、实用标准文案运动路径　一．填空题（共6小题）1．（2010•南京）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．考点：正方形的性质；根据实际问题列二次函数关系式；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：（1）①E、A重合时，三角形EFG的底和高都等于正方形的边

2、长，由此可得到其面积；②E、A不重合时；易证得△AEM≌△FDM，则EM=FM，由勾股定理易求得EM的长，即可得出EF的长；下面求MG的长，过M作MN⊥BC于N，则AB=MN=2AM，由于∠AME和∠NMG同为∠EMN的余角，由此可证得△AEM∽△NGM，根据相似三角形得到的关于AM、MN、EM、MG的比例关系式，即可求得MG的表达式，进而可由三角形的面积公式求出y、x的函数关系式；（2）可分别作出E、A重合和E、B重合时P点的位置（即P为A与E重合时得到的对应点，P′为E与B重合时的对应点），此时可发现PP′正好是△EGG′的中位线，则P点运动的距离为GG′

3、的一半；Rt△BMG′中，MG⊥BG′，易证得∠MBG=∠GMG′，根据∠MBG的正切值即可得到GG′、GM（即正方形的边长）的比例关系，由此得解．解答：解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2当点E与点A不重合时，0＜x≤2在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF在△AME和△DMF中，∴△AME≌△DMF（ASA）精彩文档实用标准文案∴ME=MF在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=∴EF=2ME=2过M作MN⊥BC，垂足为N（如图）则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM∴∠

4、AME+∠EMN=90°∵∠EMG=90°∴∠GMN+∠EMN=90°∴∠AME=∠GMN∴Rt△AME∽Rt△NMG∴=，即=∴MG=2ME=2∴y=EF×MG=×2×2=2x2+2∴y=2x2+2，其中0≤x≤2；（2）如图，PP′即为P点运动的距离；在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；∴∠MBG=∠G′MG=90°﹣∠BMG；∴tan∠MBG==2，∴tan∠GMG′=tan∠MBG==2；∴GG′=2MG=4；△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，∴PP′是△MGG′的中位线；∴PP′=GG′=2；即：点P运动路线的长为2．精彩文档实用标准文案

5、点评：此题考查了正方形的性质，等腰三角形、相似三角形、全等三角形的判定和性质以及二次函数等知识；综合性强，难度较大．　2．（2012•福州）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=　8﹣2t　，PD=　t　．（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形

6、？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．考点：相似三角形的判定与性质；一次函数综合题；勾股定理；菱形的判定与性质．菁优网版权所有专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA==，则可求得QB与PD的值；（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ

7、是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；（3）设E是AC的中点，连接ME．当t=4时，点Q与点B重合，运动停止．设此时PQ的中点为F，连接EF，由△PMN∽△PQC．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解答：解：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，精彩文档实用标准文案∴QB=8﹣2t，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，∴∠APD=90°，∴tanA==，∴PD=t．故答案

8、为：（1）8﹣2t，t．（2）不存在在