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1、第3章参数估计理论参数估计的基本方法：点估计，区间估计点估计：以样本的某一函数值作为总体中未知参数的估计值。区间估计：把总体中的参数确定在某一区间内。第1节点估计点估计就是以样本的某一函数值作为总体中未知参数的估计值。设&是总体X的待估参数，用样本X「X2，・・・,X”构造一个合适的统A计量7XX
2、,X2,…,X”）来估计参数&,通常记为&,即0=T（X
3、,X2,…,X”），称为参数&的估计量。对样本的一组观测值3,*2，…,X”），统计量T的值比门坷,吃'X”）称为参数&的估计值。点估计的问题就是要找一个作为待估参数&的估计量T（X,X2,…,
4、X"的问题。点估计的方法：数字特征法（矩估计法）、极大似然估计法、Bayes估计法、最小二乘法等等。第2节矩估计法矩估计法由英国统计学家K.Person在20世纪初提出，基本思想就是用样本矩去估计相应的总体矩。理论依据是大数定律。例I设总体X服从参数为&的指数分布，即0,x<0X,X2,…，Xn为取自总体X的样本,求参数&的矩估计量。例2设总体X〜N（“，crj,XPX2,...,XZ/为取自总体X的样本，求参数“，k的矩估计量。例3设总体X〜N©丁）,x„x2,...,xn为取自总体X的样本，求参数，的矩估计量。例4设总体X~U（a,b）,XM
5、，…,X”为取自总体X的样本，求参数的矩估计量。总二元一』3（4一文彳）,$=片+J3（&—元彳）例5设总体X~P（2）,X,,X2,•••,%„为取自总体X的样本，求参数2的矩估计量。第3节极大似然估计法极大似然估计法最初由德国数学家C.F.Gauss于1821年提出,英国统计学家R.A.Fisher于1922年再次提出极大似然的思想，并探讨了它的性质。假设总体X~B(4,p),其中参数p未知，现抽取容量为3的样本X19X2,X3如果样本观察值为1、2、1,我们来估计参数〃。9极大似然估计法的步骤：•对一组样本X
6、,X2,…,X”，写岀似然函数厶
7、3,仏…心)；•将似然函数厶(斗,兀2,…，百)取对数In厶(西,£,•••,£);dIn/八•令器=0，求出&,即为&的极大似然估计。例1设总体X〜P(/l),X”X2,…九为取自总体X的样本，求参数2的极大似然估计量。例2设总体X〜B(加，p),X],X2，・・・,X”为取自总体X的样本，求参数卩的极大似然估计量。°例3设总体X〜N(〃,CT-),X,X2,…，X"为取自总体X的样本，求参数“，k的极大似然估计量。例4设总体X〜U(a,b),/，笛,…,X”为取自总体X的样本，求参数的极大似然估计量。定理1设0是参数&的极大似然估计，若T=存
8、在唯一的反函数，贝⑹是T=g⑹的极大似然估计。例5设总体X〜2(",CT2),“，k未知，X】,X2，・・・,X”为取自总体X的样本，求P{X>1}的极大似然估计。第4JJBayes估计Bayes公式P(A丨B)=P0B)P(B)P(A)P(B
9、A)£p(A)p(bia)例对以往数据分析结杲表明，当机器调整良好时，产品的合格品率为90%,而当机器发生故障时产品的合格品率为30%。每天早上机器开动时机器调整得良好的概率为75%。试求已知某日早上第一件产品是合格品吋机器调整得良好的概率是多大？解：设事件A为“产品为合格品”，事件B为“机器调整得良好”。
10、则P(B)=0.75,P(B)=0.25,P(A
11、B)=0.9,P(A
12、B)=0.3_0.75x0.9_0.75x0.9+0.25x0.3=0.90P(B)P(A
13、B)P(B)P(A
14、B)+P(務P(A[P)、决策理论的基本概念统计决策理论是著名统计学家A.Wald(1902-1950)在20世纪40年代建立起来的(Waid.A.Statisticaldecisionfunction.NewYork：JohnWileysons,1950.中译本：王福宝译，统计决策函数，上海教育出版社，1963)o统计决策理论与经典统计学的差别在于是否涉及后果。经典
15、统计学重在推断上，而不考虑用在何处以及效果如何，统计决策理论引入损失函数，用来度量效益的大小，评价统计推断结果的优劣。Bayes分析是英国学者T.Bayes(1702-1761)首先提出，在20世纪后半叶迅速发展，它与经典统计学的差别在于是否使用先验信息。1、决策问题与决策空间例1设甲乙两人进行一种游戏，甲手中有三张牌，分别标有a、&2、乙手中也有三张牌，分别标有舛、s色。游戏规则是双方各自独立地出牌，按下表记甲的得分与乙的失分：Cly3■20%14■3&3-42描述这类决策问题有三要素:•状态集状态集表示自然界或社会所有可能状态的全体。也称为参数
16、集或参数空间。如本例的◎={&］、&2、&J。•行动集A二{岔：行动集表示决策者可能采取的行动的全体。也称为决策集或决策空
