吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义

《吉林建筑工程学院城建学院高等数学同济六版讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第九章重积分§9-1二重积分的概念与性质一、二重积分的概念(一)引例1.曲顶柱体的体积设有一空间立体O,它的底是wifij-上的有界区域Q,它的侧面是以D的边界曲线为准线,而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z=f(x.y)o当(x,y)^D时，/(%,刃在Q上连续且fgy)>0,以后称这种立体为曲顶柱体。曲顶柱体的体积V可以这样来汁算：(1)用任意一组曲线网将区域D分成〃个小区域厶厲，A(t2,,g以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面将原來的曲顶柱体G分划成〃个小曲顶柱体AQ

2、(,AQ2,,AQ„o(假设Aq•所对应的小曲顶柱体为这里Aq既代表第i个小区域,又表示它的血积值,AQ既代表第i个小曲顶柱体，又代表它的体积值。)从而V=^AQ,.(将。化整为零)/=1(1)由于/(x,y)连续，对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此，可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体，于是△G,a/(©77.)Acr.(*匕⑺)gA

3、个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念：一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。所谓让区域向一点收缩性地变小，意指让区域的直径趋向于零。设〃个小区域直径中的最大者为2,则V=lim工/(©,r/)Acr.兄->0,=]J'Z2.平面薄片的质量设有一平面薄片占有xoy面上的区域D,它在(x,y)处的面密度为Q(x,_y),这里p(x,y)>0,而且x?(x,y)在D上连续，现计算该平面薄片的质量M。图9-1-2将D分成〃个小区域△q,△cr2,,Act”，用人记厶込.的直径，厶込.既代表

4、第i个小区域又代表它的面积。当A=max{^.}很小时，由于Q(x,y)连续，每小片区域的质量可近似地看作是均匀的，那么第i小块区域的近似质量可取为n1=1A©•,%)gV(刍,?;.)gAcf.于是M=lim为〃)3两种实际意义完全不同的问题，最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景，给出一个更广泛、更抽象的数学概念，即二重积分。(二)二重积分的定义1.定义：设/(%,>')是闭区域D上的有界函数，将区域D分成个小区域其中，Aq既表示第j个小区域，也表示它的面积，人表示它的

5、直径。作乘积

6、存在。⑵d(y中的面积元素do■象征着积分和式中的A。oDZ1k—(da)■—丿0dx图9-1-3由于二重积分的定义中对区域D的划分是任意的，若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外，绝大多数的小区域都是矩形，因此，可以将db记作(并称dxdy为直角坐标系下的面积元素)，二重积分也可表示成为D⑶若/(x,>')>(),-重积分表示以/(兀刃为曲顶，以D为底的曲顶柱体的体积。二、二重积分的性质二重积分与定积分有相类似的性质1.线性性JJ[a•/(%,y)+"•g(x,

7、y)]da=a・JJ/(x,y)da+JJg(x,y)]daDDD英中：a,0是常数。2.对区域的可加性若区域D分为两个部分区域耳,0,则n/(X，y)db=jj/(x,y)dcr+\/(x,y)dcrDDLh1.若在D上，/(x,y)三1,b为区域D的面积，则er=JJda=jjdcrDD儿何意义：高为1的平顶柱体的体枳在数值上等于柱体的底面积。4.若在D上,/(x,y)<0(兀,y),则有不等式JJ/(兀,刃〃"§JJy)daDD特别地，由于-

8、/(X,y)

9、

10、,

11、有5.估值不等式设M与加分别是/(x,y)在闭区域D上最大值和最小值，b是M的面积，则m•er

12、J(x2+4/+9)Ja的值，D是圆域<4。D解求被积函数/(x,y)=x2+4y+9在区域Q上可能的最值=2x=0=Sy=0(0,0)是驻点，且/(0,0)=9；