一些自旋算符及它们组成的hamiltonian讨论[问题i]，单个自旋向任一

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1、一些自旋算苻及它们组成的Hamiltonian讨论［问题I］,单个占自旋向任一方向佔二的投影算符（g）O2r1）算符Q迢）为书上已研究过的（p・204・205）。它满足Q迢）2=/,所以其本征值为±1,其本征函数sin#exp(®/2)-sin—exp(-z^/2)20'cos—exp(-砂/2)20cos—exp(妙/2)2丿所以可将它写为它本身的谱表示:丹色）〉〈才（乙）-龙㈠色）〉〈力㈠色）2）计算对易子［G迢）。］（i=l,2）。下面略去脚标7=1,2。[(旷迢•)，£]=axnx+(yyny+(yzn2‘q=-2i(Tjiy+2z(7=2/((7Xer

2、)^于是有[Q迢)，可=2"“)3）再往算［Q迢），厂先算轨道角动量的l分量的对易子:[&-erJz]=-ihz-cyz,xdy-ydx=-ih(axer)z于是有Qg),I=-ih(&xer)4)再往算[(g),J]=[(a-er),/+5；总之有于是，这种Q迢）算符将保持此费米子的总角动量不变。5）再往算引,^2]o显然，由于单个丄自旋的厅2=3,有2「（$迢），刊=06)“引,厂卜[（"）,可』+几[（5迢），/]=一滴（亦乙）』_滅.（亦吊）=一滴{（?.（乙><7）_（7><乙）.（?}=-z/?^-

3、（erx//xer）

4、为计算p"）,先算它的x分量:

5、(g).、=I、：-©「-说{(z①-砂耳-(©-A)¥}=-ihz2^--x--xz^}+-(zdK-xd^-兀丄+小需一)‘斗］一丄(眉、.一)0j)［I厂rr)rrrrJrxZJrrr于是有(7x0」=2iher-(乙x了)最后得7)再往算［(

6、下形式S】2三302）（6可-（6・对现在来分析这种算符的各种性质。1）这种形式下的焉对全空间方位角的等权积分为零。

7、S]2〃Q=04tt因为耳=｛sin0cos（p.sin0sin（p,cos0｝三｛知如®｝，所以有3S[2=工3（*尹j-）KSji，戶12/r穴InnjdoJsinOd&Si?=jdcp^mOd&•｛工0000$0.02j3%¥-4疋/Uoi冃L'」J因此，几只对相对运动为非球对称的空间概率分布起作用，它在-态中平均值为零，不起作用。2)它的本征值为:&2—0,2,2解1：由[1]第222页，利用自旋投影算符和自旋交换算符&来表示这个焉，即知它

8、的平方满足下面二次方程式S$+2（2片2-1）焉-4（〈+1）=0于是利用用=1t^=±1，将心本征值代入，即得下面两个方程JPn=+1:S

9、；+2S

10、2—8=0,几二一4,2［片2=_1：S［：_6S［2=0,512=0,6然而，现在几有一个重根S,2=2,重数为2。这会导致出现一个虚假的几=6根。究其原因是由于，在焉有重根的情况下，“几取任一本征值”和“仏取任一本征值”这两件事之间有时会有关联，并非两者的任意两种取值都是彼此独立的。实际上本征值为焉=~4,0;2;2本来，此直积矩阵的维数是2x2=4,有四个根是对的。由于r/*S12=0,4个根的总和应为零。解

11、2：鉴于焉第一项形式（第二项可化为自旋交换算符片2,它易于运算）,取如下4个正交归一基矢厂0、+'-〉12=

12、刃（豕））」刃（乙））2三Q©-,-〉=

13、力㈠（训

14、力㈠（耳））2三o丄于是，将%=302）02•可）+1-2&作用到它们上面，得几

15、+‘+)=3

16、+,+〉+]+,+〉-2+,+〉=2

17、+,+〉焉

18、+‘_〉=_31+,-〉+1-21-,+〉=-21-2_,+)焉_,+〉=_3—,+〉-2+,-〉=-2-,+)-2+,_)转入矩阵表示，即得几所相应的矩阵为0、002>‘200_0-2-2~0-2-2,000容易得到，它的4个根为｛-4,0,2,2｝。解3：可

19、以直接看出：几的4个本征矢量为它们分别对应的本征方程为Sv①（±））=2&幻）；焉屮（+））=4屮⑷）；焉

20、屮㈠）=0屮㈠）=0;3）接着往算［6迢）（$迢）。+厅2］：［（＜5?乙）02迢）,血+乞］=［6・乙）02迢）0］+［6乜）（乞迢）02］迢）o］（E迢）+6迢）［（E迢）0］［G迢）@引。+E］=2i｛G"）（$迢）+G迢）©"）｝（用乘以任意矢量力办法，易知大括号内的量确实不等于零:｛6"）（为迢）+6电）02"）｝・“｛（6“）帀02g）+Ge）G"）f｝=｛（讣可gg迢j+g迢•色曲）｝）=（盼可•僦©迢j+G€）e｝ho4）再往算［S

21、2，b］

22、三［3（5