量子力学 中科大课件 一些自旋算符及它们组成的hamiltonian讨论

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1、一些自旋算符及它们组成的Hamiltonian讨论[问题I]，单个自旋向任一方向的投影算符。1)算符为书上已研究过的（p.204-205）。它满足，所以其本征值为，其本征函数所以可将它写为它本身的谱表示：2)计算对易子。下面略去脚标。先计算：于是有3)再往算先算轨道角动量的分量的对易子：于是有4)再往算总之有16于是，这种算符将保持此费米子的总角动量不变。5)再往算。显然，由于单个自旋的，有6)再往算为计算，先算它的分量：于是有最后得7)再往算即有16※※※[问题II]，两个自旋算符的研究。它们之间相互作用的形式，除纯粹含的部分以外，其中主要组成部分是如下形式现

2、在来分析这种算符的各种性质。1)这种形式下的对全空间方位角的等权积分为零。因为，所以有因此，只对相对运动为非球对称的空间概率分布起作用，它在态中平均值为零，不起作用。2)它的本征值为：解1：由[1]第222页，利用自旋投影算符和自旋交换算符来表示这个，即知它的平方满足下面二次方程式于是利用，将本征值代入，即得下面两个方程16然而，现在有一个重根，重数为2。这会导致出现一个虚假的根。究其原因是由于，在有重根的情况下，“取任一本征值”和“取任一本征值”这两件事之间有时会有关联，并非两者的任意两种取值都是彼此独立的。实际上本征值为本来，此直积矩阵的维数是，有四个根是对

3、的。由于，4个根的总和应为零。解2：鉴于第一项形式（第二项可化为自旋交换算符，它易于运算），取如下4个正交归一基矢于是，将作用到它们上面，得转入矩阵表示，即得所相应的矩阵为16容易得到，它的4个根为。解3：可以直接看出：的4个本征矢量为它们分别对应的本征方程为3)接着往算：（用乘以任意矢量办法，易知大括号内的量确实不等于零：）4)再往算注意，故。因此直接有这是说，算符不保持两个费米子的总自旋矢量不变。另外，也有16算符也不保持两个费米子相对运动的轨道角动量矢量不变。5)由上面两点可知，但是，算符保持这两个费米子的总角动量矢量不变。6)计算对易子。就是说，算符保持

4、此费米子的总自旋平方不变，即不改变状态总自旋的数值大小。7)计算对易子由于所以有16将上面两个结果代入，并注意有，得※※※[问题III]，两个核子间非相对论性相互作用形式的唯象推导1）核力是强相互作用的剩余作用力。实验发现核力与电荷无关。据此可以认为，原子核内的质子和中子其实是同一种粒子——“核子”在一种内禀的“同位旋空间”中的两种不同状态。于是，一般可以将两个核子间的相互作用位势表示为。这里是每个核子的同位旋矢量。又由于核物理只涉及1-15量级的能量变化，远小于核子本身16将近1000的静止能量，所以核内核子间的问题可以应用非相对论量子力学。至多再加上相对论性

5、修正。依据相互作用位势必须是空间平移不变的，所以其中只能含两核子之间的相对坐标；加之，应有Galileo变换不变性，也不应含每个核子的动量，而只应含它俩的相对动量。由于自旋和同位旋算符、均满足，，所以中含和最多为二次幂式。由于同位旋空间旋转不变性，应当是两个粒子同位旋的标量。从同位旋算符的角度来表示，的形式应为（不计含的项，因为它们是常数）2）下面进一步确定形式。原则上，下面叙述对都适用。由核力宇称守恒空间反演不变：由核子全同粒子置换对称性：由此两条得知，应对两个核子自旋算符交换为对称的：另外，依据以下两点：由核力时间反演不变性：位势各项对空间转动均应为标量。由

6、第二条可知，除含旋轨耦合因子项外，应当有。结合第一条即得，除旋轨耦合16项外，应有利用这点，也即除项外，结合置换对称和自旋交换对称，还有总之是说，除旋轨耦合项外，中不出现含和一次幂的项，即不再含等项，更不会出现等项，因为它们甚至不是自旋算符交换对称的。最后，中只应出现下列诸项以及它们的组合（不计常数项）：于是，得到一般形式为3）进一步，若只考虑定域相互作用，则中将不存在含的项。当然也就不存在含轨道角动量的项。这时核子间相互作用成为4）使用核子的位置、自旋、同位旋三种置换算符来更换上面的表达式。这时注意，因为费米子体系总波函数是反称的，所以有由此。再注意到：，于是

7、有16※※※[问题IV]，三个自旋粒子组成一个体系。其Hamiltonian为求系统的能级及能级的简并度。答：这是一个纯由自旋算符组成的Hamiltonian。其自变数本来即为所以此系统自由度的数目是3。鉴于之间：就是说，它们既是对易的又是组成Hamiltonian的两个主要成分，所以它们是守恒量。于是可以“直接设定”这两者在耦合中可能获得的量子数以直接方式确定能量（即能级）。当然，按照两者间耦合的具体情况，也可将Hamiltonian改写为16这里，由于两者也是对易的，并且是构成Hamiltonian主要成分，于是也是守恒量。若取定两个自旋耦合的或，就有而简并

8、度由决定：分别为。总共个