§6.2 电子的自旋算符和自旋函数

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1、§6.2电子的自旋算符和自旋函数　重点：  自旋算符和波函数的引入及意义　（一）自旋算符与轨道角动量满足同样的对易关系：（6.2-1a）分量式为：（6.2-1b）及（6.2-2）由于在空间任意方向上的投影只能取两个数值，所以三个算符的本征都是，即（6.2-3）仿照轨道角动量z方向分量算符的本征值用磁量子数示的式子，可以把的本征值表为（6.2-4）其中为自旋磁量子数。因为自旋角动量平方算符：所以的本征值是（6.2-5）仿照的本征值用角量子数表示的式子，的本征值也可写成（6.2-6）比较（6.2-5

2、）与（6.2-6）式，可得，我们称s为自旋量子数，它只能取一个数值，即。（二）自旋波函数电子具有自旋，所以描写电子状态的波函数除包括描写其质心坐标x、y、z的自变量外，还需引入描写自旋变量Sz，所以电子的波函数庆写为（6.2-7）由于Sz只能取两个数值，所以上式实际上相当于两个波函数（6.2-8）根据波函数的统计解释，和表示t时刻的x、y、z点附近单位体积内找到电子自旋分别和的几率。因此考虑到电子自旋以后，电子波函数的归一化条件为（6.2-9）当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以略去时，这时和

3、对x、y、z的依赖关系是相同时，我们可以把分离变量为：（6.2-10）式中是描写自旋状态自旋函数，称为自旋波函数。它的自旋变量Sz只是取和的本征态，则本征值方程为（6.2-12）和任何力学量的算符一样，它的本征函数应是正交归一的，即（6.2-13）显然，对于本征值为的态中，找到自旋的电子的几率为1，找到自旋为的电子的几率为零，因此，的函数数值可取为（6.2-14）相似地有（6.2-15）首先把电子的波函数（6.2-8）式用下列二行一列矩阵表示（6.2-16）则（6.2-17）分别表示电子处于及的

4、自旋态，而                                                     （6.2-18）是的共轭矩阵，于是波函数的归一化条件为（6.2-19）由（6.2-14）、（6.2-15）式，可将自旋波函数用下列二行一列矩阵来表示（6.2-20）其共厄矩阵为（6.2-21）正交归一关系为（6.2-22）当波函数用上述二行一列矩阵表示，则自旋算符应是二行二列矩阵，以便算符作用在波函数上仍得出二行一列的矩阵。为了使公式的形式和运算过程简洁，引入泡利算符以代替，它和的

5、关系为（6.2-23a）或（6.2-23b）根据（6.2-1a）及（6.2-1b）式，可知满足下列对关系（6.2-24a）或（6.2-24b）由（6.2-3）式知的本征值都是，故的本征值都是因而的取值只能为1，即（6.2-25）由（6.2-24b）及（6.2-25）式容易得到以下关系（6.2-26）泡利算符可表示为下的矩阵形式：（6.2-27）