7.2电子自旋算符和自旋函数

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1、§7.2电子自旋算符和自旋函数电子具有自旋角动量这一特性纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。自旋角动量也是一个力学量，但它和其他力学量有根本的差别：一般力学量都可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量。一、自旋算符自旋角动量满足的对易关系是：由于在空间任意方向上的投影只能取两个数值，所以和三个算符的本征值都是，它们的平方就都是：所以，令将上式与轨道角动量平方算符的本征值比较，可知s与角量子数相当，我们称s为自旋量子数。但这里s只能取一个数值，即s=1/2.二、泡利算符为简便

2、起见，引进一个算符，它和的关系是将（7.2-6）式代入（7.2-1）式，得到所满足的对易关系：由的对易关系可得（7.2-8）（7.2-9）的本征值常数算符及的本征值分别为算符间还存在反对易关系（7.2-11）（7.2-10）（7.2-12）（7.2-13）因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用(x,y,z)三个坐标变量外，还需要一个自旋变量(SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：由于SZ只取±/2两个值，所以上式可写为两个分量：含自旋的状态波函数（7.2-14）写成列矩阵规定列矩阵第一行对应于Sz=/2，第二行对应于Sz=-/2

3、。若已知电子处于Sz=/2或Sz=-/2的自旋态，则波函数可分别写为：（7.2-15）（7.2-16）（7.2-17）（1）SZ的矩阵形式电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋波函数上的，既然电子波函数表示成了2×1的列矩阵，那末，电子自旋算符的矩阵表示应该是2×2矩阵。因为Φ1/2描写的态，SZ有确定值/2，所以Φ1/2是SZ的本征态，本征值为/2，即有：矩阵形式自旋算符的矩阵表示与Pauli矩阵（7.2-18）（7.2-19）同理对Φ–1/2处理，有最后得SZ的矩阵形式（7.2-20）（7.2-21）（7.2-22）Pauli算符的矩阵形

4、式根据定义求Pauli算符的其他两个分量令利用反对易关系σX简化为：令c=exp[iα]α为实，则由力学量算符厄密性得：b=c*(或c=b*)求σy的矩阵形式这里有一个相位不定性，习惯上取α=0,于是得到Pauli算符的矩阵形式为：（7.2-24）（7.2-23）波函数自旋波函数（7.2-25）求：自旋波函数χ(Sz)SZ的本征方程令因为Sz是2×2矩阵，所以在S2,Sz为对角矩阵的表象内，χ1/2,χ-1/2都应是2×1的列矩阵。代入本征方程得：由归一化条件确定a1所以二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交（7.2-26）（7.2-27）引进

5、自旋后，任一自旋算符的函数G在Sz表象表示为2×2矩阵力学量平均值算符G在任意态Φ中对自旋求平均的平均值（7.2-28）（7.2-29）算符G在Φ态中对坐标和自旋同时求平均的平均值是：（7.2-30）