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《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-5教学案第三章章末小结知识整合与阶段检测》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、构朮体*.展示朝用！例析命题迁移应用.综合解读！［对应学生用书P46］归纳一一猜想一一证明乩对应学生用书P46］不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳——猜想——证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题.［例1］设数列｛禺｝满足a„+i=a；—natl+9〃=1,2,3,…(1)当a｛=2时，求。2，如，3并由此猜想出数列｛。“｝的一个通项公式.(2)当a&3时，证明对所有的nMl,有①0店拜+2；②］;%+］1+a^2*［解］⑴由Qi=2,得02=活一。
2、+1=3
3、;由02=3,得Cl^=C12—2^2+1=4;由如=4,得04=。；—3他+1=5.由此猜想：d”=/?+l(〃WN+).(2)①用数学归纳法证明：当”=1时，°］23=1+2,不等式成立；假设当n=k时，不等式成立，即a&k+2,那么当n=k+时，cik+1=怎—kllk+1=ClkWk—Q+1$(£+2)伙+2-Q+1=2(£+2)+1$k+3=(k+1)+2,也就是说,当n—k~~1时,伙+1)+2.综上可得，对于所有/7&1,有a,^n+2.②由an+=atl{an—n)+1及①，对kP2,有以=以-
4、(做
5、-】—殳+1)+1$做-1仇—1+2—k+1)+1=2aii-]+1M2・(2a&-2+1)+1=2咕&-2+2+123^--3+22+2+1鼻…:.ak^2k~lal+2k~2+-+2+=2k~lal+2k~1-]=2a_,(«1+1)-1,于是1+以22*一】(4+1),•右，kP2.]1+。1111、1+尹尹…+列=7^(1_2")<7+^<7+3=2-因此，原不等式成立.利用数学归纳法证明不等式的常用技巧在使用数学归纳法证明时，一般说來，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂.因此，熟悉归纳步骤的证明方法
6、是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“Pg成立”是问题的条件，而“命题P伙+1)成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤屮的关键，下面简要分析一些常用技巧.1.分析综合法用数学归纳法证明关于正整数”的不等式，从“尸伙厂到“卩伙+1)”，常常可用分析综合法.［例2］求证:［证明］⑴当n=时,〃GN+.因为11<1,所以原不等式成立.⑵假设H=k(kyEWN+)时，原不等式成立，即有I+IHhIt-<2+V2X3+…+寸锹+
7、1）+p伙+1）伙+2）v、"+p伙+1）伙+2）因此，欲证明当n=k~~时，原不等式成立，只需证嘶+火+：）（+）如成立•即证明何—辰如加+»从而转化为证明心+；+讥心二+2，也就是证明寸F+3£+2>*+1+y［k,即（寸&2+3尤+2）2_（yjk+1+寸疔=«++1—2出伙+1）=［心伙+1）—1］2>0,从而心?+3A+2>V^n+打.于是当n=k+1时，原不等式也成立.由（1）、（2）可知，对于任意的正整数久原不等式都成立.2.放缩法涉及关于正整数77的不等式，从“疋过渡到“£+1”，有时也考虑用放缩法.
8、［例3］用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式（1+*丨4［证明］⑴当77=2时，左边=1+3=31右边=•・•左边〉右边，・・・不等式成立.（2）假设当n=k（k22,且胆N+）时不等式成立,即（1+IX1+5）-（1+君型尹则当n=k+l时，（1+IX1+5）-（l+右［1+2伙+〔）-1_我+12A+22A+2勺4疋+8£+4>2'2k+l~2yf2k+i~2p2k+1y/4k+k+3伍Ti&k+lp2伙+1)+12p2k+1一2y)2k+1一2^・°・当n=k~~1时，不等式也成立.由⑴⑵知，对于一切大于
9、1的自然数小不等式都成立.3.递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用给与G”十］的关系，实现从叹”到“k+1”的过渡.［例4］设0SV1,定义G［=l+d,a”+i=++a,an求证：对一切〃丘N+,有1vq”1,又Gl=l+dV［丄万，显然命题成立.⑵假设n=k(Q,kWN+)时，命题成立,即5古当n=k+l时，由递推公式，知ak+i=—+a>(-a)+a=,uk同时,1当n=k~~1时，命题也成立.即lv如］V］_口.综合(1)、(2)可知，对
10、一切正整数/?,有14.学会借用同一题中已证明过的结论在从《到£+1的过程中，若仅仅利用已知条件，有时还是没有证题思路，这时考査同一题中己证明过的结论，看是否可借用，这种“借用”思想非常重耍.［例5］设｛x“｝是rflx1=2,x”+］=定义的数列，求证：不等式迈％<迈+知UN+).受阻过程：由于对于任
