2002年5月全国大联考试题（主卷）

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1、s2002年5月全国大联考试题（主卷）数学参考答案及评分标准一、1．B2.B3.D4.D5.C6.B7.D8.A9.C10.B11.（理）A（文）A12.D二、13.14.(理)(文)－915.16.α＞90°且α＋β＞180°(或α＞90°且sina＜sinβ；或α＞90°，β＝90°)三、17.解：∵Ａ、Ｂ是三角形内角，且Ａ＜ＢsinＡ＜sinＢ（2分）又Δ＝２cos240°－4（cos240°－）＝2sin240°（４分）∴sinA＝（cos40°－sin40°）＝sin（45°－40°）＝sin5°∴a＝5°(6分)sinB＝（cos40°＋sin40°）＝si

2、n（45°＋40°）＝sin85°∴Ｂ＝85°(8分)∴cos（2A－B）＝cos75°＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝(10分)18．(Ⅰ)证明：PD⊥底面ABCD，CDABCD∴PD⊥CD又∵DA⊥CD∴CD⊥平面PDA∴CD⊥PA又∵MN∥PA∴MN⊥CD(4分)(Ⅱ)解：设AC、BD交于O，连结MO、PN∵MO∥PD∴MO⊥底面ABCD且MO＝PD＝3(6分)N是AB中点∴S△DNB＝Ｓ△DNA＝DA·AN=×4×２＝×8＝4．∴VP－DMN＝ＶＰ－ＤＮＢ－ＶＭ－ＤＮＢ＝4(8分)(Ⅲ)解：过O向DN作垂线OK，垂足为K，连MK∵OK是MK在平

3、面ABCD上的射影，∠MKO即为所求二面角的平面角(10分)∴Ｓ△ODN＝Ｓ△DNB＝×4=2．OK==，OM=3`sRt△OKM中，tgOKM=＝=(文科12分)∴∠ＯＫＭ＝arctg即二面角Ｍ—DN—C的大小为arctg(12分)19．解：当n＝2时，f（1）＝g（2）·［f（2）－1］得g（2）＝f＝2(2分)n＝3时，f（1）＋f（2）＝g（3）［f（3）－１］解得g（3）＝3猜想：g（n）＝n（n≥2）(5分)下面用数学归纳法证明：等式f（1）＋f（2）＋…＋f（ｎ－１）＝g（n）[f（n）－1]对于ｎ≥2的一切自然数都成立．①当ｎ＝２时，由上式知等式成立．②假设

4、当n＝k时，f（1）＋f（2）＋…＋f（k－１）＝g（k）·［f（k）－1］成立，那么n＝k＋１时(k≥2)f（1）＋f（2）＋…＋f（k－１）＋f（k）＝g（k）·［f（k）－1］＋f（k）＝k·［f（k）－1］＋f（k）＝（k＋1）·f（k）－k(8分)而f（k＋1）＝f（k）＋∴（k＋1）f（k）－k＝（k＋1）［f（k＋1）－］－k＝（k＋1）f（k＋1）－1－k＝（k＋1）f（k＋1）－（k＋1）＝（k＋1）［f（k＋1）－1］(11分)∴当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n≥2的自然数等式都成立，故存在g（n）＝n（n≥2）．(12分)20．解：(Ⅰ)

5、设ｘ小时后，蓄水池有水y千吨由题意：y＝9＋2x－8(3分)y＝2(－2)2＋1(4分)当＝2时，即4小时时蓄水池水量最少，只有1千吨(5分)(Ⅱ)2(－2)2＋1＜3(－2)2＜1`s∴１＜ｘ＜9即有8个小时供水紧张，从1小时到9小时之间(8分)(Ⅲ)9＋3x－8－3与0比较9＋3ｘ－8－3＝3(－)2+6－＞０因此，每小时注入水3千吨就不会发生供水紧张情况(12分)21(Ⅰ)证明：抛物线的准线ｌ的方程为ｘ＝－１－．∵直线x＋y＝t与x轴的交点(t，０)在准线ｌ的右边∴t＞－1－，即4t＋p＋4＞０(2分)ｘ＋ｙ＝t由得x2－(2t+p)x+t2－p=0①y2=P(x+1

6、)∵p＞０，4t＋p＋4＞0∴Δ＝(2t+p)2－4(t2－p)＝p（4t＋p＋4）＞０∴直线与抛物线总有两个交点(4分)(Ⅱ)解：设A的坐标为（x１，y１），B的坐标为（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个根，由韦达定理得x1＋x2＝2t＋p，x1x2＝t２－p∵OA⊥OB，∴KOA·KOB＝－１∴＝－1,即x1x2+y1y2=0又∵A、B在直线x＋y＝t上，∴y1＝t－x1，y2＝t－x2∴y１ｙ２＝（t－x1）（t－x2）＝t２－（x1＋x2）t＋x1x2x1x2＋＝y1y2=2（t２－p）＋t２－（2t＋p）·ｔ＝t２－（ｔ＋2）p=０又∵p＞０，4t＋p＋4＞

7、０p=∴t∈（－2，０）∪（０，＋∞）4(t+1)+∴p关于ｔ的函数表达式为p＝f（t）＝,ｔ∈（－2，０）∪（０，＋∞）(9分)(Ⅲ)解：∵原点到直线x＋y＝t的距离不大于，∴≤`s∴－1≤t．又∵（Ⅱ）中t＞－2且t≠０∴t∈［－1，］０∪（０，1）又∵ｆ（ｔ）＝=(t+2)+令ｕ＝t＋2或ｕ∈［1，2∪］（2，3）．∵f（u）＝ｕ＋－4在［1，2］上为减函数，在（2，3）上是增函数．∴f（u）取值范围为（０，1），即p∈（０，1]．(14分)22．解：(Ⅰ)ｙ=(1分)－x+1(x)图象如图所示．(3分)y＝