分数阶微积分理论及其应用研究

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1、●，—●1＼＼●●】■-■■■-一■I’kp童．』’10llIIIIIrlllIIlY1844446ADissertationfortheDegreeofDoctorinPatternRecognitionandIntelligentSystemsStudyonFractionl—-ordercalculusandItsApplicationsbyZhangYanzhuSupervisor：ProfessorXueDingyuNortheasternUniversityMay2008I『l『If。’。’。。。。。。。。。。。。。≮■，；--tr--IL’’●引●{—1

2、1_ll独创性声明本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：匆g龟剜弋日期：学位论文版权使用授权书本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。作者和导师同意网

3、上交流的时间为作者获得学位后：半年口一年口一年半口两年口学位论文作者签名：签字日期：导师签名：签字日期：0^l东北大学博士学位论文摘要分数阶微积分理论及其应用研究摘要实际系统动态过程本质上是分数阶的。运用整数阶系统模型难以更好描述某些类型系统动态过程。分数阶微积分理论是解决这一难题的有效途径，运用分数阶系统模型可以更好描述系统特性。分数阶微积分中微分、积分的阶次可以是任意的，它扩展了人们所熟知的整数阶微积分的描述能力。基于整数阶微积分理论的传统控制方法和模型在不同程度上存在一些问题，随着实际工业系统的日益复杂化和人们对控制要求的日益提高，基于整数阶理论的控制技术有时难

4、以获得令人满意的性能。分数阶微积分不仅为系统科学提供了一个新的数学工具，而且为解决实际工业过程中存在的问题提供了一种可行的有效途径。本文着重研究分数阶微积分理论应用于实际系统的理论、方法和应用技术。本文具有创新性的研究工作和成果可概括如下：首先，针对现实世界物理系统模型多是偏微分方程的特点，提出分数阶偏微分方程的数值求解方法，充分利用了分数阶微积分理论，并结合传统的整数阶偏微分方程的求解方法，提出了基于Laplace变换的方法和基于Adomain分解的方法。这两种方法综合了解析方法，数值方法和现代符号数学。尽管所提出方法的基本原则是简单的，但是，这些方法能够应用到广泛

5、的偏微分模型的边界控制问题和干扰问题中。这些方法比传统的有限元方法更简单，对于整数阶偏微分方程也完全适用。此外，可以得到解的解析结构，而不仅仅是数值结果。其次，针对基于古典微积分理论的建模方法存在物理特性难以完全体现等问题，提出将分数阶系统模型推广应用于现实世界的弦振动系统，并给出了弦振动系统分数阶模型，并与目前应用比较广泛的振动系统整数阶模型进行了对比研究。同时，就振动系统中比较关注的边界控制和抗干扰能力进行了设计和分析。最后通过仿真研究验证了提出的边界控制方法和抗干扰设计的有效性。第三，主要研究并分析了传输线上波的传播特性，推导出时间分数阶有损传输线模型，并推广该

6、模型为任意阶次来表征传输线上电压电流波的反常扩散；提出基于分数阶的Adomian分解方法，得出近似的传输线电压解析解；最后用实验说明时间分数阶传输线模型的波动传播特点，采用分数阶模型开辟了传输线瞬态分析的新方向。最后，研究了分数阶微积分理论在控制系统中的PID控制应用问题，系统的阐述了分数阶PID控制参数整定的实现过程。在分数阶PID控制器的设计中，为了考虑暂态时一II—东北大学博士学位论文摘要间响应的性能，采用误差平方的积分作为设计最优分数阶PID控制器的设计性能指标，应用遗传算法整定分数阶PID控制器参数通过使用该遗传算法，分别进行了采用整数阶PID控制器和分数阶

7、PID控制器，对整数阶和分数阶系统的控制器参数整定的对比仿真。结果表明，采用分数阶P11D9控制器的控制效果优于整数阶PID控制器关键词：分数阶振动系统；分数阶微积分；分数阶传输线模型；分数阶边界控制；分数阶PID控制器一III—东北大学博士学位论文AbstractStudyonFractionl—ordercalculusandItsApplicationsAbstractDynamicsystemisfractionl-orderordersysteminessence．Theinteger-ordermodelsofsystemssometim