2010年上海市长宁区数学二模(理)

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1、2010年长宁区高三数学质量检测试卷（理）一、填空题（本大题满分56分，本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1、设为虚数单位，则复数2、若函数的反函数的图像过点，则3、若向量的夹角为，，则4、执行右边的程序框图，若，则输出的S学科网5、函数图像的顶点是，且成等比数列，则6、已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则7、函数的最大值为8、在中，，且，则的长为9、在等差数列{an}中，满足3a4=7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取

2、得最大值，则n=.10、已知圆的极坐标方程为，则该圆的面积为11、已知双曲线的左、右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则12、棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，E、F分别是棱、的中点，则直线EF被球截得的线段长是__________.学13、根据统计资料，在小镇当某件讯息发布后，小时之内听到该讯息的人口是全镇人口的﹪，其中是某个大于0的常数，今有某讯息，假设在发布后3小时之内已经有70﹪的人口听到该讯息。又设最快要小时后，有99﹪的人口已听到该讯息，则=小时。（保留一位小数）14、在平

3、面直角坐标系中，定义点之间的“直角距离”为。若到点的“直角距离”相等，其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为二、选择题（每小题4分，计16分）15、不等式的解集是（）A．　　B．　　　　　C．　　　　D．16、已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件417、设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().A.B.C.D.18、如果函

4、数在定义域的某个子区间上不存在反函数，则的取值范围是（）三、解答题（本大题共5题，计78分）19、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝,点E是线段SD上任意一点。（1）求证：AC⊥BE；（2）若二面角C-AE-D的大小为，求线段的长。20、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（2）小题6分）设数列中，若，则称数列为“凸数列”。（1）设数列为“凸数列”，若，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；（

5、2）在“凸数列”中，求证：；（3）设，若数列为“凸数列”，求数列前项和。421、（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）。现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客。在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡。.（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持

6、银卡者少于2人的概率；（2）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。22、（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分）已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。（1）求椭圆方程；（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点。证明：为定值；（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。423、（本题满分18分

7、，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）在平行四边形中，已知过点的直线与线段分别相交于点。若。（1）求证：与的关系为；（2）设，定义函数，点列在函数的图像上，且数列是以首项为1，公比为的等比数列，为原点，令，是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由。（3）设函数为上偶函数，当时，又函数图象关于直线对称，当方程在上有两个不同的实数解时，求实数的取值范围。4