巧用圆锥曲线定义解题

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1、巧用圆锥曲线定义解题圆锥曲线的两种定义，第二定义体现了“形”的统一，第一定义体现了“质”的区别。两种定义不仅在解题中应用广泛，而且具有很大的灵活性。下面谈谈定义在求解圆锥曲线问题中的一些应用。一、利用定义求轨迹例1.已知圆C：是C的动切线，切点为E。离心率为的椭圆，以l为准线，且过，求其相应焦点P的轨迹方程。分析：问题的关键在于如何运用定义找出P与的关系。解：如图1，分别过作切线l的垂线，垂足分别为M、N、E。图1由椭圆的定义可得：。∴又，则点P的轨迹为椭圆，其方程为。二、利用定义求最值例2.如图2，是双曲线＝1

2、的左、右焦点，M（6，6）为双曲线内部的一点，P为双曲线右支上的一点，求：图2（1）的最小值；（2）的最小值。分析：（1）和式“”与双曲线第一定义有质的区别，是否可设法转化为“差”呢？（2）关键在于处理的系数，于是联想到，可用第二定义转化。略解：（1）。（2）（其中

3、PH

4、为P到右准线l的距离）。例3.如图3，抛物线，椭圆＝1（）。求两曲线有公共点时a的最小值。图3解：抛物线焦点为F（4，0），准线为l：。椭圆焦点为F（4，0）、。设两曲线交于点A，从A作l的垂线，垂足为H。则则当H、A、F*共线时，2a有最小值

5、。此时，A的纵坐标为4，代入，得A（1，4）。再将A点坐标代入椭圆方程得，从而。文化点精：本题的难点在于如何运用定义作为桥梁，找出H、A、F*共线时2a达到最小值这个切入点。三、利用定义判定某些位置关系例4.设l是经过双曲线的右焦点F2的直线，且和双曲线右支交于A、B两点，则以AB为直径的圆与双曲线的右准线有几个交点？解：如图4，分别过A、B及圆心M作双曲线右准线的垂线图4垂足分别为则（其中e为双曲线的离心率，R为圆的半径）。故有两个交点。引申与思考：若双曲线改为椭圆、抛物线会出现什么样的结果呢？四、利用定义求解

6、某些几何问题例5.已知：半圆的直径AB长为2r，半圆外的直线与BA的延长线垂直，垂足为T，。半圆上有相异两点，它们与直线l的距离满足

7、MP

8、：

9、AM

10、＝

11、NQ

12、：

13、AN

14、＝1。求证：

15、AM

16、＋

17、AN

18、＝

19、AB

20、。解：建立如图5所示的直角坐标系，图5则M、N既在抛物线上，又在圆上联立得：。若设，则有，而，则。综上，运用圆锥曲线的定义解题，通过数形结合，不仅能抓住问题的本质，还能避开复杂的运算，使问题巧妙获解。