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《高三数学(理科)一轮复习§9.6 椭圆(教案)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、响水二中高三数学(理)一轮复习教案第九编解析几何主备人张灵芝总第48期§9.6椭圆基础自测1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于.答案2.若椭圆=1的离心率为,则实数m=.答案或3.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是.答案44.已知方程+=1,表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围为.答案(-∞,-1)∪5.(2008·天津文)设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为.答案=1例题精讲例1一动圆与已知圆O1:(x+3
2、)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.解两定圆的圆心和半径分别为O1(-3,0),r1=1;O2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件可得
3、MO1
4、=1+R,
5、MO2
6、=9-R.∴
7、MO1
8、+
9、MO2
10、=10.由椭圆的定义知:M在以O1、O2为焦点的椭圆上,且a=5,c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16,故动圆圆心的轨迹方程为=1.例2.(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程;(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(
11、,1)、P2(-,-),求椭圆的方程.解(1)若焦点在x轴上,设方程为=1(a>b>0).∵椭圆过P(3,0),∴=1.又2a=3×2b,∴a=3,b=1,方程为.308若焦点在y轴上,设方程为=1(a>b>0).∵椭圆过点P(3,0),∴=1,又2a=3×2b,∴a=9,b=3.∴方程为=1.∴所求椭圆的方程为或=1.(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).①②∵椭圆经过P1、P2点,∴P1、P2点坐标适合椭圆方程,则①、②两式联立,解得∴所求椭圆方程为.例3已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离
12、心率的范围;(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.(1)解设椭圆方程为=1(a>b>0),
13、PF1
14、=m,
15、PF2
16、=n.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°.∵m+n=2a,∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn,∴4c2=4a2-3mn.即3mn=4a2-4c2.又mn≤=a2(当且仅当m=n时取等号),∴4a2-4c2≤3a2,∴≥,即e≥.∴e的取值范围是.(2)证明由(1)知mn=b2,∴=mnsin60°=b2,即△PF1F2的面积只与短轴长有关.例4如图所示,已知A、B、C是椭圆E:=1(a>
17、b>0)上的三点,其中点A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心O,且AC⊥BC,
18、BC
19、=2
20、AC
21、.(1)求点C的坐标及椭圆E的方程;(2)若椭圆E上存在两点P、Q,使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴,试判断向量与是否共线,并给出证明.解(1)∵
22、BC
23、=2
24、AC
25、,且BC经过O(0,0),∴
26、OC
27、=
28、AC
29、.又A(2,0),∠ACB=90°,∴C(,),∵a=2,将a=2及C点坐标代入椭圆方程得=1,∴b2=4,308∴椭圆E的方程为:=1.(2)对于椭圆上两点P、Q,∵∠PCQ的平分线总垂直于x轴,∴PC与CQ所在直线关于直线x=对称,设直线PC的斜率为k,则
30、直线CQ的斜率为-k,∴直线PC的方程为y-=k(x-),即y=k(x-)+.①直线CQ的方程为y=-k(x-)+,②将①代入=1,得(1+3k2)x2+6k(1-k)x+9k2-18k-3=0,③∵C(,)在椭圆上,∴x=是方程③的一个根.∴xP·=,∴xP=,同理可得,xQ=,∴kPQ==.∵C(,),∴B(-,-),又A(2,0),∴kAB==,∴kAB=kPQ,∴向量与向量共线.巩固练习1.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1、F2,M是椭圆上一点,N是MF1的中点,若
31、ON
32、=1,则
33、MF1
34、的长等于.答案62.根据下列条件求椭圆的标准方程:(1)已知P点在以
35、坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;(2)经过两点A(0,2)和B.解(1)设椭圆的标准方程是=1或=1,则由题意知2a=
36、PF1
37、+
38、PF2
39、=2,∴a=.在方程=1中令x=±c得
40、y
41、=308在方程=1中令y=±c得
42、x
43、=依题意并结合图形知=.∴b2=.即椭圆的标准方程为=1或=1.(2)设经过两点A(0,2),B的椭圆标准方程为mx2+ny2=1,代入A、B得,∴所求椭圆方程为.3.(2008·江苏,12)在平面直角坐标系中,椭圆(a>b>0)的焦距为2,以O为圆心,a为半径作圆,过点作圆