北京市西城区2009年4月抽样测试-数学(理科) 2009.4

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1、北京市西城区2009年4月抽样测试-数学(理科)2009.4一、选择题（共6小题；共30分）1.已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是______A.存在一条直线b，a∥b，b⊂αB.存在一条直线b，a⊥b，b⊥αC.存在一个平面β，a⊂β，α∥βD.存在一个平面β，a⊥β，α⊥β2.已知全集U=1,2,3,4,5，集合A=3,4，B=2,3,5，那么集合A∪∁UB等于______A.1,2,3,4,5B.3,4C.1,3,4D.2,3,4,53.设i是虚数单位，复数z=tan45∘−i⋅

2、sin60∘，则z2等于______A.74−3iB.14−3iC.74+3iD.14+3i4.若数列an是公比为4的等比数列，且a1=2，则数列log2an是______A.公差为2的等差数列B.公差为lg2的等差数列C.公比为2的等比数列D.公比为lg2的等比数列5.设a为常数，函数fx=x2−4x+3．若fx+a为偶函数，则a等于______A.−2B.2C.−1D.16.设a,b∈R，且ba+b+1<0，ba+b−1<0，则______A.a>1B.a<−1C.−11二、填

3、空题（共2小题；共10分）7.x+2x25的展开式中x2的系数是______；其展开式中各项系数之和为______．（用数字作答）8.给出下列四个函数：①y=sinx+cosx；②y=sinx−cosx；③y=sinx⋅cosx；④y=sinxcosx．其中在0,π2上既无最大值又无最小值的函数是______．（写出全部正确结论的序号）三、解答题（共4小题；共52分）9.某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次

4、汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响．（1）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；（2）设ξ为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．10.设a∈R，函数fx=−x−12+2a−1lnx+1．（1）若函数fx在点0,f0处的切线方程为y=4x−1，求a的值；（2）当a<1时，讨论函数fx的单调性．11.设m>3，对于有穷数列an（n=1,2,⋯,m），令bk为a1,a2,⋯,ak中的最大值，称数列bn为an的＂创新数列＂．数列bn中不

5、相等项的个数称为an的＂创新阶数＂．例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3．考察自然数1,2,⋯,mm>3的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列cn．第6页（共6页）（1）若m=5，写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列cn；（2）是否存在数列cn，使它的创新数列为等差数列?若存在，求出所有的数列cn，若不存在，请说明理由；（3）在创新阶数为2的所有数列cn中，求它们的首项的和．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为3π4

6、，OB=2，设∠AOB=θ，θ∈π2,3π4．（1）用θ表示点B的坐标及OA；（2）若tanθ=−43，求OA⋅OB的值．四、选择题（共1小题；共5分）13.与直线x−y−4=0和圆x2+y2+2x−2y=0都相切的半径最小的圆的方程是______A.x+12+y+12=2B.x+12+y+12=4C.x−12+y+12=2D.x−12+y+12=4五、填空题（共4小题；共20分）14.设O为坐标原点，向量OA=1,2．将OA绕着点O按逆时针方向旋转90∘得到向量OB，则2OA+OB的坐标为___

7、___．15.limx→2x2−3x+2x2−4的值等于______．16.不等式2x−1>x的解集为______．17.已知函数fx由下表给出x01234fxa0a1a2a3a4其中akk=0,1,2,3,4等于在a0,a1,a2,a3,a4中k所出现的次数．则a4=______；a0+a1+a2+a3=______．六、解答题（共1小题；共13分）18.已知椭圆C:x2+y24=1，过点M0,3的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B．（1）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程

8、；（2）设P为椭圆上一点，且OA+OB=λOP（O为坐标原点），求当AB<3时，实数λ的取值范围．七、选择题（共1小题；共5分）19.函数fx的定义域为D，若对于任意x1,x2∈D，当x1