2015届山东省淄博市高三数学二模（理科）

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1、2015届山东省淄博市高三数学二模（理科）一、选择题（共10小题；共50分）1.已知复数z满足z1+i=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是  A.1+i2B.1−i2C.−1+i2D.−1−i22.设P=yy=−x2+1,x∈R，Q=yy=2x,x∈R，则  A.P⊆QB.Q⊆PC.∁RP⊆QD.Q⊆∁RP3.设命题p:2x−3<1，q:2x−3x−2≤1，则p是q的  A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知随机变量ξ∽N0,σ2，若Pξ＞3=0.023，则P−3≤ξ≤3=  A.0.477

2、B.0.628C.0.954D.0.9775.已知不共线向量a，b，a=b=a−b，则a+b与a的夹角是  A.π12B.π6C.π4D.π36.设函数fx=kax−a−x，（a＞0且a≠1）在−∞,+∞上既是奇函数又是减增函数，则gx=logax+k的图象是  A.B.C.D.7.已知函数fx=asinx+bcosx（a，b为常数，a≠0）在x=π4处取得最小值，则函数gx=f3π4−x是  A.偶函数且它的图象关于点π,0对称第13页（共13页）B.偶函数且它的图象关于点3π2,0对称C.奇函数且它的图象关于点3π2,0对称D.奇函数

3、且它的图象关于点π,0对称8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为  A.3π4B.3π2C.3πD.3π9.若a，b∈0,2，则函数fx=13ax3+2x2+4bx+1存在极值的概率为  A.1+2ln24B.3−2ln24C.1+ln22D.1−ln2210.设双曲线x2a2−y2b2=1a＞0,b＞0的右焦点为F，过点F做与x轴垂直的直线交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若OP=λOA+μOB，λμ=425λ,μ∈R，则双曲线的离

4、心率e是  A.5B.52C.52D.54二、填空题（共5小题；共25分）11.若x，y都是锐角，且sinx=55,tany=13，则x+y=  ．12.二项式3x−2x5的展开式中常数项为  ．13.已知a＞0，b＞0，方程为x2+y2−4x+2y=0的曲线关于直线ax−by−1=0对称，则a+2bab的最小值为  ．14.已知抛物线y2=4x上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离是 ．15.已知数列an满足a1=1，an=lognn+1n≥2,n∈N*．定义：使乘积a1⋅a2⋯ak为正整数的kk∈N*叫做“易整数”．则

5、在区间1,2016内所有“易整数”的和为 ．三、解答题（共6小题；共78分）16.已知向量m=cosx,cosx+π6，n=3sinx+cosx,2sinx，且满足fx=m⋅n．（1）求函数fx的单调递增区间；第13页（共13页）（2）在△ABC，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足a=2，fA2=2，求△ABC面积的最大值．17.如图1，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90∘，AD=AB=2，BC=3，EF∥AB，且AE=1，M，N分别是FC，CD的中点．将梯形ABCD沿EF折起，使得BC=3，连接AD，BC，AC得到（图2）所示

6、几何体．（1）证明：AF∥平面BMN；（2）求二面角B−AC−D的余弦值．18.已知函数fx=logmx（m＞0且m≠1），点an,2n在函数fx的图象上．（1）若bn=an⋅fan，当m=33时，求数列bn的前n项和Sn；（2）设cn=anmn⋅lganmn，若数列cn是单调递增数列，求实数m的取值范围．19.某商场组织购物抽奖活动，现场准备了两个装有6个球的箱子，小球除颜色外完全相同，A箱中放有3个红球、2个白球、1个黄球，B箱中放有红球、白球和黄球各2个，顾客购物一次可分别从A，B两箱中任取（有放回）一球，当两球同色即中奖，若取出两

7、个黄球得3分，取出两个白球得2分，取出两个红球得1分，当两球异色时未中奖得0分，商场根据顾客所得分数多少给予不同奖励．（1）求某顾客购物一次中奖的概率；（2）某顾客先后2次参与购物抽奖，其得分之和为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．20.如图，F1，F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a＞b＞0的左、右焦点，椭圆C上的点到F1点距离的最大值为5，离心率为23，A，B是椭圆C上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行．（1）求椭圆C的方程；（2）若AF1=2BF2，求直线AF1的方程；第13页（共13页）（3）设AF2与BF1的交点为

8、P，求证：PF1+PF2是定值．21.已知函数fx=aex−be−x−2xa,b∈R的导函数fʹx为偶函数，且曲线y=fx在点0,f0处的切线斜率为0（其中e=2.71828⋯）（1）求a，b