排列组合例题(word版)

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1、1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.①分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…..+mn种不同的方法.②分步记数原理（乘法原理）：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做

2、第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×.…..×mn种不同的方法.③两个原理的区别：前者各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；后者每个步骤相互依存，只有每个步骤都完成了，这件事才算完成．对前者的应用，如何分类是关键，如排数时有0没有0，排位时的特殊位置等；后者一般体现在先选后排．从n个不同元素中取出m个元素的排列数例1：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种法？解一：分两步完成第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置第二步排其余的位置：解二：第一

3、步由葵花去占位第二步由其余元素占位：小结：当排列或组合问题中,若某些元素或某些位置有特殊要求的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种？解：5个独唱节目的排法是P55舞蹈不排在头一个节目，又需任何两个舞蹈不连排,只要把舞蹈节目,插入独唱节目的5个空隙中即可,即舞蹈节目的排法是P53,所以排法的种数为小结：当某几个元素要求不相邻时，可以先排没有条件限制的元素，再将要求

4、不相邻的元素按要求插入已排好元素的空隙之中，这种方法叫插入法。例3学生要从六门课中选学两门:（1）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种选法？（2）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？(1)解法一：解法二：(2)解法一：解法二：例49人排成一行，下列情形分别有多少种排法？⑴甲不站排头，乙不站排尾；解法一：(分类法)解法二：(排除法)⑵甲乙必须排在一起，丙丁不能排在一起；15点评：小团体排列问题中，先整体后局部，再结合不相邻问题的插空处理.⑶甲、乙、丙从左到右排列；⑸分成甲、乙、丙三组，甲组4人，乙组3人，丙组2人；例5从0,1,2,

5、3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有____,只含有1个偶数的取法有_____,和为偶数的取法共有____+_有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.例6设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多

6、少投法？解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种还剩下3球3盒序号不能对应操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,例7（徐州二模）从6人中选4人组成4×100m接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？分析：（一）直接法（二）间接法=48（一）排列解排列问题，必须认真审题，明确问题是否是排列问题，那是否有序，抓住问题本质特征。1、特殊元素的“优先按排法”。例1、用0、1、2、3、4这五个数字，组成没有重复的三位数，其中偶数共有多少？（分析）由于三位数是偶数，故末尾数字必须是

7、偶数，以“0”不能排在首位，所以“0”就是其中特殊元素，优先按排。按“0”在末尾和不在末尾分为两类。共A+AAA=302、相邻问题有“捆绑法”。对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将先相邻的元素“捆绑”起来，作为一个“大”的元素，与其他元素排列，然后再对相邻元素的内部进行排列。例2、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻有多少种不同的排法？（分析）先把甲乙丙三人“捆绑“看作一个元素，与其余4个元素进行排列再对甲、乙、丙三人进行排列。共AA种。3、不相邻问题有“插空法”。对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素

8、在已排好的元素之间及两端的空隙间插入即可。例3、7人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相邻有多少种不同的排法？（分析）先让其余4人站好，有A种排法，这时有5个“空隙