排列组合经典例题透析(word版)

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1、组合经典例题透析类型一：组合数公式及其性质　　1．计算：　　（1）；（2）.　　思路点拨：可以直接依据组合数公式计算，也可以先利用性质化简后再计算　　解析：　　（1）方法一：；　　　　方法二：；　　（2）方法一：；　　　　方法二：.　　总结升华：当时，利用性质计算比较简便．性质2表达组合数的递推性质，它可用于计算求值，更重要的是用于恒等式的证明。　　举一反三：　　【变式1】计算：　　（1）；（2）；（3）　　【答案】　　（1）或　　（2）或　　（3）　　【变式2】计算：　　（1）；（2）　　【答案】　　（1）　　

2、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=…　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=…　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【变式3】求证：．　　证明：右边　　　　　　　　　　　　　左边　　2．解方程：.　　解析：原方程可化为，　　　　　整理得:，　　　　　解得或（不合题意舍去）．　　　　　经检验是原方程的根．　　总结升华

3、：解含组合数的方程和不等式时要注意组合数中，且这些限制条件，要注意含组合数的方程和不等式中未知数的取值范围；应强调解组合数方程要验根。　　举一反三：　　【变式1】解方程：　　【答案】原方程为　　　　　　∴2x＝x＋4或2x＝21-x　　　　　　解得：x＝4或x＝7　　　　　　经检验x＝4，x＝7都是原方程的根。　　【变式2】已知，求、的值．　　【答案】依题意得，　　　　　　整理得，解得：.类型二：组合的应用　　3．平面内有10个点，　　（1）以其中每2个点为端点的线段共有多少条？　　（2）以其中每2个点为端点的有

4、向线段共有多少条？　　思路点拨：线段不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题；有向线段考虑线段两个端点的顺序，是排列问题．　　解析：　　（1）以每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，　　　　即以其中每2个点为端点的线段共有（条）　　（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点，一个是终点，　　　　以每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，　　　　即以其中每2个点为端点的有向线段共(条)　　总结升华：一个问题是排列问题还是组合问题，在于取出的元素之间有没

5、有顺序，交换其中两个元素是否改变所得的结果．　　举一反三：　　【变式1】下面的问题是排列问题？还是组合问题？并计算结果。　　（1）从1，3，5，9中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？　　（2）从1，3，5，9中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？　　（3）10个同学毕业后互相通了一次信，一共写了多少封信？　　（4）10个同学毕业后见面时，互相握了一次手，共握了多少次手？　　【答案】　　（1）组合问题，可以得到个不同的和；　　（2）排列问题，可以得到个不同的商；　　（3）排列问题，一共写了封信；　　（4）

6、组合问题，共握了次手.　　【变式2】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．　　（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？　　（2）从口袋内取出3个球，使其中恰有1个黑球，有多少种取法？　　（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？　　【答案】　　（1）56；从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是　　（2）21；从口袋内取出3个球恰有1个黑球，也就是除黑球外还要从7个白球中再取出2个，　　　　　　取法种数是。　　（3）35；由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数

7、是。　　4．在100张奖券中，有1张一等奖，3张二等奖，6张三等奖，从中任意抽出2张．　　（1）一共有多少种不同的抽法？　　（2）其中恰好有1张是二等奖的抽法有多少种？　　（3）其中至少有1张是二等奖的抽法有多少种？　　思路点拨：“2张中恰好有1张是二等奖”即为“1张是二等奖1张非二等奖”，可以分步完成；“2张中至少有1张是二等奖”即为“2张中恰好有1张是二等奖”或“2张都是二等奖”，可以从对立面解决。　　解析：　　（1）所求就是从100张奖券中取出2张的组合数，为；　　（2）分两步完成：　　　　第一步，从3张二

8、等奖中抽出1张二等奖的抽法有种，　　　　第二步，从97张非二等奖中抽出1张的抽法有种．　　　　因此共有种。　　（3）方法一：直接法　　　　　　　　分两类：　　　　　　　　第一类：“2张中恰好有1张是二等奖”的抽法有；　　　　　　　　第二类：“2张都是二等奖”的抽法有；　　　　　　　　故共有方法种。　　　　方法二：间接法　　　　　　　　抽出的2张中至少有1张二等奖的抽法的种