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时间:2018-07-27
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1、组合经典例题透析类型一:组合数公式及其性质 1.计算: (1);(2). 思路点拨:可以直接依据组合数公式计算,也可以先利用性质化简后再计算 解析: (1)方法一:; 方法二:; (2)方法一:; 方法二:. 总结升华:当时,利用性质计算比较简便.性质2表达组合数的递推性质,它可用于计算求值,更重要的是用于恒等式的证明。 举一反三: 【变式1】计算: (1);(2);(3) 【答案】 (1)或 (2)或 (3) 【变式2】计算: (1);(2) 【答案】 (1)
2、 =… (2) =… 【变式3】求证:. 证明:右边 左边 2.解方程:. 解析:原方程可化为, 整理得:, 解得或(不合题意舍去). 经检验是原方程的根. 总结升华:解含组合数的方程和不等式时要注意组合数中,且这些限制条件,要注意含组合数的方程和不等式中未知数的取值范围;应强调解组合数方程要验根。 举一反
3、三: 【变式1】解方程: 【答案】原方程为 ∴2x=x+4或2x=21-x 解得:x=4或x=7 经检验x=4,x=7都是原方程的根。 【变式2】已知,求、的值. 【答案】依题意得, 整理得,解得:.类型二:组合的应用 3.平面内有10个点, (1)以其中每2个点为端点的线段共有多少条? (2)以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条? 思路点拨:线段不考虑线段两个端点的顺序,是组合问题;有向线段考虑线段两个端点的顺序,是排列问题. 解析: (1)以每2个点为端点的线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,
4、 即以其中每2个点为端点的线段共有(条) (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点,一个是终点, 以每2个点为端点的有向线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数, 即以其中每2个点为端点的有向线段共(条) 总结升华:一个问题是排列问题还是组合问题,在于取出的元素之间有没有顺序,交换其中两个元素是否改变所得的结果. 举一反三: 【变式1】下面的问题是排列问题?还是组合问题?并计算结果。 (1)从1,3,5,9中任取两个数相加,可以得到多少个不同的和? (2)从1,3,5,9中任取两个数相除,可以得到多少个不同的商? (3)10个同学毕业后互相通
5、了一次信,一共写了多少封信? (4)10个同学毕业后见面时,互相握了一次手,共握了多少次手? 【答案】 (1)组合问题,可以得到个不同的和; (2)排列问题,可以得到个不同的商; (3)排列问题,一共写了封信; (4)组合问题,共握了次手. 【变式2】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出3个球,使其中恰有1个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 【答案】 (1)56;从口袋内的8个球中取出3个球,取法种数是 (2)21;从口袋内取出3个球恰有1个
6、黑球,也就是除黑球外还要从7个白球中再取出2个, 取法种数是。 (3)35;由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,取法种数是。 4.在100张奖券中,有1张一等奖,3张二等奖,6张三等奖,从中任意抽出2张. (1)一共有多少种不同的抽法? (2)其中恰好有1张是二等奖的抽法有多少种? (3)其中至少有1张是二等奖的抽法有多少种? 思路点拨:“2张中恰好有1张是二等奖”即为“1张是二等奖1张非二等奖”,可以分步完成;“2张中至少有1张是二等奖”即为“2张中恰好有1张是二等奖”或“2张都是二等奖”,可以从对立面解决。 解析: (1)所求就
7、是从100张奖券中取出2张的组合数,为; (2)分两步完成: 第一步,从3张二等奖中抽出1张二等奖的抽法有种, 第二步,从97张非二等奖中抽出1张的抽法有种. 因此共有种。 (3)方法一:直接法 分两类: 第一类:“2张中恰好有1张是二等奖”的抽法有; 第二类:“2张都是二等奖”的抽法有; 故共有方法种。 方法二:间接法 抽出的2张中至少有1张二等奖的抽法的种
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