排列组合经典例题透析

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1、组合经典例题透析类型一:组合数公式及其性质  1.计算:  (1);(2).  思路点拨:可以直接依据组合数公式计算,也可以先利用性质化简后再计算  解析:  (1)方法一:;    方法二:;  (2)方法一:;    方法二:.  总结升华:当时,利用性质计算比较简便.性质2表达组合数的递推性质,它可用于计算求值,更重要的是用于恒等式的证明。  举一反三:  【变式1】计算:  (1);(2);(3)  【答案】  (1)或  (2)或  (3)  【变式2】计算:  (1);(2)  【答案】  (1)                                      

2、       =…                                (2)                                             =…                                【变式3】求证:.  证明:右边             左边  2.解方程:.  解析:原方程可化为,     整理得:,     解得或(不合题意舍去).     经检验是原方程的根.  总结升华:解含组合数的方程和不等式时要注意组合数中,且这些限制条件,要注意含组合数的方程和不等式中未知数的取值范围;应强调解组合数方程要验根。  举一反

3、三:  【变式1】解方程:  【答案】原方程为      ∴2x=x+4或2x=21-x      解得:x=4或x=7      经检验x=4,x=7都是原方程的根。  【变式2】已知,求、的值.  【答案】依题意得,      整理得,解得:.类型二:组合的应用  3.平面内有10个点,  (1)以其中每2个点为端点的线段共有多少条?  (2)以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?  思路点拨:线段不考虑线段两个端点的顺序,是组合问题;有向线段考虑线段两个端点的顺序,是排列问题.  解析:  (1)以每2个点为端点的线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,  

4、  即以其中每2个点为端点的线段共有(条)  (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点,一个是终点,    以每2个点为端点的有向线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数,    即以其中每2个点为端点的有向线段共(条)  总结升华:一个问题是排列问题还是组合问题,在于取出的元素之间有没有顺序,交换其中两个元素是否改变所得的结果.  举一反三:  【变式1】下面的问题是排列问题?还是组合问题?并计算结果。  (1)从1,3,5,9中任取两个数相加,可以得到多少个不同的和?  (2)从1,3,5,9中任取两个数相除,可以得到多少个不同的商?  (3)10个同学毕业后互相通

5、了一次信,一共写了多少封信?  (4)10个同学毕业后见面时,互相握了一次手,共握了多少次手?  【答案】  (1)组合问题,可以得到个不同的和;  (2)排列问题,可以得到个不同的商;  (3)排列问题,一共写了封信;  (4)组合问题,共握了次手.  【变式2】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.  (1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?  (2)从口袋内取出3个球,使其中恰有1个黑球,有多少种取法?  (3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?  【答案】  (1)56;从口袋内的8个球中取出3个球,取法种数是  (2)21;从口袋内取出3个球恰有1个

6、黑球,也就是除黑球外还要从7个白球中再取出2个,      取法种数是。  (3)35;由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,取法种数是。  4.在100张奖券中,有1张一等奖,3张二等奖,6张三等奖,从中任意抽出2张.  (1)一共有多少种不同的抽法?  (2)其中恰好有1张是二等奖的抽法有多少种?  (3)其中至少有1张是二等奖的抽法有多少种?  思路点拨:“2张中恰好有1张是二等奖”即为“1张是二等奖1张非二等奖”,可以分步完成;“2张中至少有1张是二等奖”即为“2张中恰好有1张是二等奖”或“2张都是二等奖”,可以从对立面解决。  解析:  (1)所求就

7、是从100张奖券中取出2张的组合数,为;  (2)分两步完成:    第一步,从3张二等奖中抽出1张二等奖的抽法有种,    第二步,从97张非二等奖中抽出1张的抽法有种.    因此共有种。  (3)方法一:直接法        分两类:        第一类:“2张中恰好有1张是二等奖”的抽法有;        第二类:“2张都是二等奖”的抽法有;        故共有方法种。    方法二:间接法        抽出的2张中至少有1张二等奖的抽法的种

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