7.1不等式及其基本性质讲解与例题.doc

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7.1　不等式及其基本性质1．能正确理解不等式的概念，会用不等式表示生活中的不等关系．2．理解掌握不等式的性质，能灵活运用不等式性质进行不等式变形．1．不等式的概念(1)定义：用不等号(＞、≥、＜、≤或≠)表示不等关系的式子，叫做不等式．像v≤40，t≥6000，3x＞5，q＜p＋2，x≠3等这样的式子都是不等式．(2)常用的不等关系：不等号≠＜＞≤≥读法不等于小于大于小于等于大于等于举例3－4≠9－1＜80＞－6a≤1a≥0①符号“≤”表示小于或等于，也可以表示不大于；②符号“≥”表示大于或等于，也可以表示不小于．在用“≥”表示的不等式中，只要“＞”或“＝”两个关系中有一个成立，该不等式就成立，例如，不等式3≥2成立，不等式2≥2也成立；用“≤”表示的不等式道理也一样．【例1】在下列数学表达式中，不等式的个数是(　　)．①－2013＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.A．5B．4C．3D．2解析：运用不等式的定义进行判断，③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选B．答案：B本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠.2．不等式的基本性质(1)不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．字母表示：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；同样有，如果a＜b，那么a＋c＜b＋c，a－c＜b－c.(2)不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 字母表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc，＞；同样有，如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc，＜.(3)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．字母表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，＜；同样有，如果a＜b，c＜0，那么ac＞bc，＞.(1)不等式的变形中，只有当两边都乘以(或除以)一个负数时，不等号的方向改变．(2)不等式的两边不能都乘以零，乘以零后不等式变为等式．(4)如果a＞b，那么b＜a.例如，由＜x，可得x＞.不等式的这个基本性质类似于等式的基本性质中的“若a＝b，则b＝a”．(5)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.不等式的这个基本性质类似于等式中的“若a＝b，且b＝c，则a＝c”．【例2－1】如果m＜n，用“＞”或“＜”填空，并说明你的理由．(1)5m________5n；(2)________；(3)－2m______－2n；(4)－______－.解析：(1)＜；由m＜n两边都乘以5得到；(2)＜；由m＜n两边都乘以(或除以2)得到；(3)＞；由m＜n两边都乘以－2得到；(4)＞；由m＜n两边都乘以－(或除以－2)得到．答案：(1)＜　(2)＜　(3)＞　(4)＞【例2－2】若a＜b，则下列各式中一定成立的是(　　)．A．a－1＜b－1B．＞C．－a＜－bD．ac＜bc解析：在不等式的三条基本性质中要特别注意“不等式两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变”，因为已知a＜b，由不等式基本性质1得a－1＜b－1，故选A．由不等式基本性质2知B选项错误，应为＜，由不等式基本性质3知C选项中不等号方向要改变．由于c可取任意实数，故D项中不等式不一定成立．答案：A解决这类问题时，先看已知不等式与变化后的不等式两边变化情况，从而确定应用哪一条性质．3．根据数量关系列出不等式根据题意用不等号表示数量间的不等关系，就是列不等式．(1)用不等式表示数量关系是研究不等式的基础，在用不等式表示数量关系时，一定要抓住关键词，然后把关键词用正确的不等号表示出来． (2)寻找题目中的不等量关系式第一步：寻找具有比较性质的关键词．如：“大于”“小于”“不大于”“不小于”“最多”“至少”“超过”“低于”等．第二步：寻找比较的两个量．即“谁大于谁”“谁小于谁”即可．(3)根据不等量关系式列出不等式找到不等量关系式之后，只需把不等量关系式中的量用式子表示出来即可．列不等式时除找出关键词确定不等关系外，还需明确以下常用的不等关系．(1)a是正数表示为a＞0；a是负数表示为a＜0.(2)a是非负数表示为a≥0；a是非正数表示为a≤0.(3)a，b同号表示为ab＞0或者＞0；a，b异号表示为ab＜0或者＜0.【例3】用适当的符号表示下列关系：(1)x的与x的2倍的和是非正数；(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300m；(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；(4)明天下雨的可能性不小于70%.分析：(1)先表示出x的与x的2倍，再求x与2x的和，最后列出不等式x＋2x≤0，注意非正数表示的是负数或零，即小于或等于0的数．(2)(3)(4)需先设未知数，然后用代数式表示问题中的各量，并根据题目中的不等关系列出不等式：一枚炮弹的杀伤半径不小于300m，即炮弹的杀伤半径≥300m；总价钱不高于268元，即总价钱≤268元；明天下雨的可能性不小于70%，即明天下雨的可能性≥70%.解：(1)x＋2x≤0.(2)设炮弹的杀伤半径为rm，则有r≥300.(3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，则有3a＋4b≤268.(4)用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%.4．用不等式的基本性质将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式，是不等式基本性质的一个重要应用．将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式，要依据不等式的三条基本性质，进行合理的变形，这是解不等式的基础．在变形中，要用到去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，每一步都要依据不等式的基本性质．利用不等式的基本性质变形的步骤：(1)观察不等式的变化前后的规律；(2)适当选择不等式的基本性质1,2或3；利用不等式的基本性质3时，注意不等号方向的改变情况；(3)根据选择的基本性质变形．【例4】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：(1)x－2＜3；(2)6x＞5x－1；(3)－4x＞4；(4)x≤9.分析：适当地选用不等式的基本性质对所给不等式进行变形，注意不等号方向的“不变”与“改变”．解：(1)由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以x－2＋2＜3＋2，即x＜5.(2)由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都减去5x，不等号的方向不变，所以6x－5x＞5x－1－5x，即x＞－1.(3)由不等式的基本性质3可知，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以x ＜－1.(4)根据不等式的基本性质2，在不等式x≤9的两边都乘以4，得x≤36.解决这类问题，要观察题中不等式与所要得到的不等式在形式上的差别，从而采用适当的方法进行变形．5．根据实际问题列不等式根据实际问题列不等式的步骤可总结为：(1)认真审题，找出题目中的数量关系和关键字词；(2)列出相应的代数式，根据关键字词确定不等关系；(3)用不等号连接，列出不等式．解决这类问题的关键在于把题目中所给的数量关系中的“大于”，“小于”，“不大于”，“不小于”，“是负数”，“是正数”，“是非负数”，“至少”等文字语言正确地用数学符号表示出来，把不等关系转化为不等式．【例5－1】小刚准备用自己节省的零花钱购买一台MP4来学习英语，他已存有50元，并计划从本月起每月节省30元，直到他至少有280元．设x个月后小刚至少有280元，则可得到不等式为(　　)．A．30x＋50＞280B．30x－50≥280C．30x－50≤280D．30x＋50≥280解析：此题的不等关系：已存的钱与每月节省的钱数之和至少为280元．至少即大于等于，根据题意，得50＋30x≥280.故选D．答案：D【例5－2】冬天到了，小华准备用自己平时节省的30元钱为乡下的爷爷奶奶和自己买手套与袜子．已知一副手套5元钱，一双袜子4元钱，他先买了3双袜子．如果设他还能买x副手套，那么根据题意，可得到不等式________．解析：此题的不等关系：3双袜子的总价＋x副手套的总价不大于30元，根据题意可以列出不等式．答案：3×4＋5x≤306．与不等式及其性质有关的拓展创新题不等式在新型题目中的应用常见于新定义型题、探究题以及图表信息题，主要是以不等式及其性质为知识背景．拓展题主要是不等式基本性质的逆向应用，逆向运用公式或性质，可以从另一个角度考查我们对定义、性质、公式的理解，发散我们的思维．另外，逆向运用公式或性质，有时可以有效地简化计算，收到意想不到的效果．逆向应用不等式的基本性质时，关键是要看变形中，不等号的方向是否改变，从而判断变形中是否根据了不等式的基本性质3.进一步可判断未知系数的正负性．逆用不等式的基本性质解题，多数考查的应该是不等式的基本性质3.【例6－1】现规定一种新的运算：a△b＝a·b－a＋b＋1，如3△4＝3×4－3＋4＋1.请比较下列两式的大小：(－3)△4________4△(－3)(填“＜”“＞”或“＝”)．解析：先根据规定的运算方法，将两式化简，然后进行大小比较．(－3)△4＝(－3)×4－(－3)＋4＋1＝－4；4△(－3)＝4×(－3)－4＋(－3)＋1＝－18.因－4＞－18，故(－3)△4＞4△(－3)．答案：＞【例6－2】已知关于x的不等式2＜(1－a)x的解集为x＜，则a的取值范围是(　　)．A．a＞0B．a＞1C．a＜0D．a＜1解析：对照两个不等式可以发现，已知不等式左、右两边经过变形后位置发生了改变(即2在原不等式的左边，经过变形后在右边，含x 的项在已知不等式的右边，经过变形后在左边)，因此应先将2＜(1－a)x变形为(1－a)x＞2，再根据不等式的性质确定a的取值范围．根据不等式的性质3，得1－a＜0，即a＞1.故选B．答案：B