一道古典概型试题的四种解法

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1、一道古典概型试题的四种解法在平时的学习过程中，要善于从多个角度、用不同方法分析、解答同一道题，来培养同学们的探究能力、创新能力，以及发散思维能力；下面我们用多种方法探讨一道古典概型问题，帮助大家更透彻的理解古典概率模型中的一类问题。题目：4位先生将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每个人随意取走一顶帽子,记事件人为“4位先生拿到的都不是自己的帽子”求事件A的概率是.解法一：假设四位先生依次为甲、乙、丙、丁，其对应的帽子分别编号为1、2、3、4,先约定按照甲、乙、丙、丁依次排好，将帽子进行排列后，各取所对应的帽子；则帽子有多少种排列方法就有多少个基木事件，下面用树形图将结

2、果直观的展现出来。4、2、3）、（1、4、3、2）、（2、1、3、4）、（2、1、4、3）、（2、3、1、4）、（2、3、4、1）、（2、4、1、3）、（2、4、3、(3、1）、（3、1、2、4）、（3、1、4、2）、（3、2、1、4）、2、4、1）、（3、4、1、2）、（3、4、2、1）、（4、1、2、3）、（4、1、3、2）、（4、2、1、3）、（4、2、3、1）、（4、3、1、2）、（4、3、2、1）•基本事件总数为24个•事件A包含的基本事件为：（2、1、4、3）、（2、3、4、1）、（2、4、1、3）、（3、1、4、2）、（3、4、1、2）、（3、4、2、1）

3、、（4、1、2、3）、（4、3、1、2）、（4、3、2、1）,事件A所包含基本事件数为9,因此事件4发生的概率P（A）諾斗解法二：4人都拿不到自己的帽子：假设甲先拿，拿不到自己帽子的拿法有三种。若甲拿到的是乙的帽子，则乙肯定拿不到自己的帽子，乙在剩下的3个帽子里再拿走1顶，同样有三种不同的拿法。若乙拿走的是甲的帽子，四人都拿不到自己的帽子只能是丙拿走了丁的帽子，丁拿走丙的帽子；若乙拿走的是丙（丁）的帽子，则丙（丁）只能拿丁（丙）的，丁（丙）拿走甲的帽子，这样四人才能都拿不到自己的帽子；本质上，4人都拿不到自己的帽子这个问题，在前两个人帽子选定的同时，后两个人的帽子已经确

4、定。因为在任何一种甲取帽子的情况下，乙都有三种不同的取帽子的方法；所以，四个人都拿不到自己帽子的拿法共计：3x3=9,基本事件总数为24•因此事件4发生的概率p（A）=—=-・248解法三：用容斥原理（见人教新课标必修1第13、14页，集合中元素的个数）来解；如图四个有公共元素的集合中，用全集U表示事件“四人分别去拿四顶帽子”所包含的全部基本事件，共计24个；集合A表示甲拿到自己的帽子（不去考虑其他人是否拿到自己的帽子），同理：集合B、C、D分别表示乙、丙、丁拿到白己帽子，它们的公共部分表示他们都拿到自己帽子的情况；则四个人都没拿到自己帽子用A、B、C、D四个集合的并集

5、在全集U中的补集来表示；其中集合A：甲拿到自己帽子（实质上就是乙、丙、丁三人分别去拿三顶帽子这一事件）包含6个基本事件，同理可得集合B、C、D各包含6个基本事件；共计6x4=24个；两人同时拿到自己帽子（共有6类分别为：（甲、乙）,（甲、丙），（甲、丁），（乙、丙），（乙、丁）,（丙、T））（如：甲、乙；即AcB集合所示）包含2个基本事件（甲、乙、丙、丁分别拿到自己的帽子；甲、乙分别拿到自己的帽子，而丙、丁都拿到的是对方的帽子）；共计包含基本事件6x2=12种；任意三人拿到自己的帽子（如甲、乙、丙；即集合AcBcC）包含基本事件1个，共计四类分别为：（甲、乙、丙），（甲

6、、乙、丁）（甲、丙、T），（乙、丙、丁）共计包含基本事件1x4=4个；四人都拿到自己帽子（即集合AnBnCnD）包含1个基本事件•根拯容斥原理：card（AuBuCuD）=card（A）+card（8）+card（C）+card（D）-card（AcB）-caM（AcC）一card（Ac£））-card（BcC）一card（BcD）-card（Cc£＞）+card（AcBcC）+card（Ac3c£））+card（AcCc£＞）-heard（BcCc£））一card（AcBcCcD）=24—12+4—1=15则四人均未拿到自己的帽了（即集合G/AuBuCuD））共包含基

7、本事件个数为：cardCLJ(AuBuCu£))=card(U)-card(AuBoCuD)=24-15=9基本事件总数为24.因此事件A发生的概率P(A)=^-=

8、o248请同学们开动脑筋，试一试，用容斥原理能不能推导出“五位先生都没有拿到自己的帽子”的概率是多少？实际上n位先生都没有拿到自己的帽子的概率可以用(Ix2x3xx«)xU--+—1—++(-1)“1］公式来求。11x21x2x3Ix2x3xxn注解本题是典型的错位排列问题，根据n个元素错位排列所包含的基本事件数的公(Ix2x3xx/i)x[l-i+—J—++(-1)"J]1