2010年数学竞赛试题参考解答

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1、1.已知Ilim大tobx-sx^x2解：由罗比塔法则得lim=1,即lim-^(b-cosx)Ja+x“to&b-cosxloxtO•X•••lim(/?一cosx)=0=>/?=1又Tlim-——XT()“TO1一COSX2,2.已知y+y'十厂一"+—无’+2兀=0,讨论y=y(x)的单调性。6解：对隐函数方程求导得才+3》，y=/+严-*兀2_2=0,才=令卩(兀)=ex+ex-兀2一2,则0(兀)为偶函数，且0(0)=0。(px)=€X—CX—Xj0"(X)=0*+0X—1o•X显然，0G)>O,:.(px)单调增加。x>0时0(劝>

2、0(0)=0。于是x〉0吋(p(x)为单调增函数，(p(x)>0(0)=0o故y20。所以丿(兀)为单调增函数。3.设F(x)是/(兀)的一个原函数,F(0)=0且f(x)F(x)=x(l+x)e2求/⑴。解：由条件知FXx)F(x)=x(l^x)e2两边积分JF(兀)F'(x)(iY=Jx(l+x)£"cLr得vF(0)=0,aC=0,F(x)=±xexo故/(x)=Fx)=±(1+x)exo4.已知f(x)是如图所示的抛物线,IL/(x)有极小值是2，极大值是6,求/Wo解：由条件可设fx)=cix{x-T)o所以/(兀)=J处(兀一2)dx

3、=a(丄x3-x2)+C由图形知g在［0,2］为单调增函数,所以Q/•(OU兀2)巧-4)+C=6»7故gi+3F+2。5.求曲线x=cosr+/sinr.严严b亠,•小亠土干戸..0

4、S2⑹〃(1+尸)「ZoZ0'—"_43—兀O034故b+g+产另解：利用曲线积分。由曲线积分可知SJ如一曲+xdy=*[[j+击],XL厶妇其中厶为红色曲线，厶为线段x=l(-2^

5、s&+—sin&drdxdyduduz•小du八——=—r(-sine/)+—rcos8Vdedxdydududur—=——xydrdxdydllduz、du——=—(-y)+—xdx丿dyduduI+-rdxdy..zrdux2一y2du2xyrr：~—~?2"'~—~23duzxduoxx*+ydyjT+厂〒(-y)+L=ydxdy7.椭圆%2+2^2=6到直线x+y=4的最大和最小距离。卜+y_4

6、，令F——(x+y-4)~+4-2_y2—6)。F：=(x+y-4)+2/lx=0

7、d=—(=,mind=V26.在点(1,0,2)做曲面Z=l+X2+r的切平面。求该切平面与Z=l+〒+y2及(x-i)2+/=i所围成立体的体积。解：(l)z=l+/+b在(1,0,2)的法向量兀二(一2兀-2y1)

8、(102)=(-201),得切平面方程z=2xo(2)所围立体以z=l+x2+y2为顶，z=2x为底,以(x-1)2+y2=1为侧面。所以V=JJ[l+x2+/-2x]ja,其中D是(兀_1)2+护=1围区域。(3)V=ci/44831兀兀=龙+2(——)cosOdO=71=—o{3342227.设Q为曲线=22绕z轴旋转一周生成的曲面

9、与平面z=4所围成的区域，求积分+z)2dxdydz解：旋转曲面方程为：x2+y2=2zf所以Q为-(x2+/)

10、+2兀、y=2x是二阶线性方程y"+ay4by=卩(兀)的三个解,这里d"为常数