高中数学 第二章 解三角形 1_2 余弦定理(一)学案 北师大版必修5

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1、1.2　余弦定理(一)学习目标　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．知识点一　余弦定理的推导思考1　根据勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC．①试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？　思考2　在c2＝a2＋b2－2abcosC中，abcosC能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？　梳理　余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要．因为两边及其夹角恰好是平面向量一组基底的条

2、件，所以能把第三边用基底表示进而求出模．另外，也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理．知识点二　余弦定理的呈现形式1．a2＝__________________，b2＝____________________，c2＝____________.2．cos____＝；cos____＝；cos____＝.知识点三　适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1　观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？　思考2　观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认

3、为可用来解哪类三角形？梳理　余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形．类型一　余弦定理的证明例1　已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.　非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。反思与感悟　所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要考察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方．跟踪训练1　例1涉

4、及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？类型二　用余弦定理解三角形命题角度1　已知两边及其夹角例2　在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1cm)反思与感悟　已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角．跟踪训练2　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A.　命题角度2　已知三边例3　　在△ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形(角度精确到1′)．　反思

5、与感悟　已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cosA＝，cosB＝，cosC＝求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理．跟踪训练3　在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判断三角形的形状．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长为(　　)A．52B．2C．16D．42．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)A.B.C.D.3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　

6、　)A.B.C.D.4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，那么b等于(　　)A.B．1＋C.D．2＋非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是

7、余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。答案精析问题导学知识点一思考1　当a＝b＝c时，∠C＝60°，a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos60°

8、＝c2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC.思考2　abcosC＝

9、C

10、·

11、C

12、cos，＝·.∴a2＋b2－2abcosC＝2＋2－2·＝(－)2＝2＝c2.猜想得证．知识点二1．b2＋c2－2bccosA　c2＋a2－2cacosB　a2＋b2－2abcosC2．A　B　C知识点三思考1　每个公式