高中数学 第二章 解三角形 1_2 余弦定理(二)学案 北师大版必修5

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1、1.2　余弦定理(二)学习目标　1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点一　已知两边及其中一边的对角解三角形思考　在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，可以先用正弦定理＝求出sinC＝.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能，怎么解？　梳理　已知两边及其一边的对角，既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1,2，具体判断方法如下：设在△ABC中，已知a，b及A的值．由

2、正弦定理＝，可求得sinB＝.(1)当A为钝角时，则B必为锐角，三角形的解唯一；(2)当A为直角且a>b时，三角形的解唯一；(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：①当ab，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．知识点二　判定三角形的形状思考1　三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形，其他；按角可分为钝

3、角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定？思考2　△ABC中，sin2A＝sin2B.则A，B一定相等吗？梳理　判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。知识点三　证明三角形中的恒等式思考　前面我们用正弦定理化简过acosB＝bcosA，当时是把边化成了角；现在我们学了余弦定理，你能不

4、能用余弦定理把角化成边？梳理　证明三角恒等式的关键是借助边角互化减小等式两边的差异．类型一　利用余弦定理解已知两边及一边对　　　　角的三角形引申探究例1条件不变，用正弦定理求c.例1　已知在△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c.　反思与感悟　相对于用正弦定理解此类题，用余弦定理不必考虑三角形解的个数，解出几个是几个．跟踪训练1　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝，a＝，b＝1，则c等于(　　)A．1B．2C.－1D.类型二　利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2　在△ABC中，有(1)a＝bcosC

5、＋ccosB；(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．　反思与感悟　证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．跟踪训练2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：＝.类型三　利用正弦、余弦定理判断三角形形状例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试判断△ABC

6、的形状．　非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。反思与感悟　(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化，经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断．(2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2＝2bccosA，b2＋c2＝(b＋c)2－2bc等等．跟踪训练3　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．　1．在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等

7、于(　　)A．60°B．45°或135°C．120°D．30°2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是(　　)A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形3．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？　1．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径

8、：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．4．利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的