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时间:2019-01-12
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1、数学解题时应重视题中隐含的条件 【摘要】隐含条件就是隐含于题目中的比较隐蔽的而解题又需要的条件.由于它具有一定的隐蔽性,不易发现.因此常被学生所忽视,从而造成解题过程中容易出现错误.在初中数学教学中,教师应重视分析题中隐含的条件. 【关键词】数学;解题;隐含条件 常常容易被我们所忽视的隐含条件,主要表现在以下几个方面: 一、由分式的值为零,求未知数的值时,应注意分子的值为零但分母的值不能为零 例1若分式x2-4x-5x2-5x的值为零,求x的值. 本题看上去没有条件限制,但却隐含着本题成立时必须具备的两个条件,其一是分子的值等于零;其二是分母的值不
2、能等于零.而且这两个条件应同时具备,缺一不可. 解依题意得x2-4x-5=0x2-5≠0解方程组得x=-1. 二、分母有理化时,要注意分母的有理化因式不能为零 例2化简a-ba+b. 题目似乎相当简单,只要分子,分母同乘分母的有理化因式(a-b)即可.但要知道,当a>0,b>0且a=b时,分母的有理化因式(a-b)=0.这就使得这种解法与分式的基本性质相矛盾.显然这种解法是错误的.其正确的解法应是:4 解a-ba+b=(a+b)(a-b)a+b=a-b. 三、在二次根式的化简中,一定要记住被开方数大于或等于0 例3已知m≠0,n≠0且
3、m
4、=-m
5、,化简mn3. 此题虽有一些条件,但这些条件却是残缺不全的.因此,解题前需认真分析,考察m,n的取值的范围,然后在所取值的范围内化简该式. 解∵m≠0且
6、m
7、=-m,∴m<0. ∵mn3≥0且n≠0,∴n<0, ∴mn3=
8、n
9、mn=-nmn. 四、把二次根号外的因式移到根号内,移进根号内的因式一定是非负数 例4把根号外的因式移到根号内:(x-1)-1x-1. 学生做此题时,一般会忽略一个条件,从二次根式的定义来看,被开方数一定是非负数.因此:-1x-1≥0,所以x-1<0.根号外的因式(x-1)是负数,把负数移进根号时,一定要把负号留在根号外.
10、正确的解法如下: 解(x-1)-1x-1=-(x-1)2-1x-1=-1-x. 五、解方程时,不能把方程两边含有未知数的相同因式约去 例5解方程x(x-1)=x. 若方程两边同除以x,则x=0时,这一解法显然违背了方程的性质,并会造成漏根.其正确的解法应是: 解移项得x(x-1)-x=0,∴x(x-2)=0, ∴x=0或x-2=0,∴x1=0或x2=2.4 六、要切记一元二次方程(或二次函数)的二次项系数不能为零,一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数不能为零 例6已知方程(m-1)x2-2(m-1)x+1=0有两个相等的实数根,求m的值.
11、 方程有两个相等的实数根,其意有二:一是方程关于x的一元二次方程(即二次项系数不能为零);二是此方程的判别式Δ=0. 解依题意得m-1≠0-2(m-1)2-4(m-1)×1=0 解这个方程组得m=3. 例7已知函数y=(m+1)xm2+m+1为反比例函数,那么此函数的两个分支分别在哪个象限内? 函数为反比例函数,其意有二:一是自变量x的次数为-1;二是比例系数m+1≠0即m≠-1. 解依题意得m2+m-1=-1m+1≠0 解这个方程组得m=0, 故反比例函数的解析式为y=1x, 此函数图像的两个分支分别在第一、第三象限内. 七、当涉及一元二
12、次方程根的问题时,必须牢记判别式Δ≥0这个前提 例8已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=2的两个根x1、x2的平方和是方程x2-12x+35=0的两个根的积,求m的值. 解这类题目时,我们往往疏忽了Δ≥0这个前提,从而造成错误.因此在解这类题目时,切记Δ≥0这个前提. 解原方程x2-(2m-1)x+m2=2,4 可化为x2-(2m-1)x+m2-2=0, ∴x1+x2=2m-1,x1?x2=m2-2, ∵方程x2-12x+35=0的两个根的积是35, ∴x12+x22=35,∴(x1+x2)-2x1x2=35, ∴(2m-1)2-2(m
13、2-2)=35, 整理得m2-2m-15=0, 解这个方程得m=-3或m=5, Δ=[-(2m-1)]2-4(m2-2)=-4m+9. 当m=-3时,Δ=-4(-3)+9=21>0; 当m=5时,Δ=-4×5+9=-11<0,故m=-3. 此外,行程、工程、增产率等问题中的各量均为正数,并且要符合实际情况.分式方程中的分母不能为零,偶次根式中的被开方数为非负数,非正数次幂中的底数不能为零等等.这些题目本身都包含着隐含条件. 为此,解含有未知数(或字母)的数学问题时,必须仔细审题,认真寻找知识间的内在联系,熟练掌握知识间的相互关系,认真分析所含未知
14、数(或字母)在结论成立时所需的附加条件
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