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1、资料第9讲函数的奇偶性、周期性【考点解读】1.理解函数奇偶性的概念，掌握函数奇偶性的判定方法及图象特征，并能运用这些知识分析、解决问题。2.理解函数周期性与对称性的概念，会用定义验证函数的周期性。3.能综合运用函数的奇偶性、周期性及对称性解题。【知识扫描】1.奇函数、偶函数的概念函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，一般地,如果对于函数的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数就叫做偶函数.一般地,如果对于函数的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数就叫做奇函数.定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数
2、的必要非充分条件。2.判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是:（1）考查定义域是否关于原点对称；（2）考查表达式是否等于或-：若=-，则为奇函数；若=，则为偶函数；若=且=,则既是奇函数又是偶函数；若）≠-且≠，则既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:=±±=0=±1(≠0).3.奇、偶函数的性质（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（2）若一个奇函数在处有定义，那么.资料；如果一个函数既是奇函数又是偶数，则其值域为。（3）奇
3、函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。（4）在定义域的公共部分内，两个奇（偶）函数之和、差为奇（偶）函数；两奇（偶）函数之积（商）为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数。（注：取商时，应使分母不为0）（5）复合函数的奇偶性由两个函数，复合而成的复合函数，只要其中有一个是偶函数，其复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，其复合函数是奇函数。1.周期函数的定义对于函数，如果存在一个常数非零，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么是周期函数。是它的周期。注意：必须对定义域内的任意自变量恒成立。5.判断函数
4、是周期函数的常见结论：（）若函数满足对定义域内任一实数，①以为周期。②以为周期。③以为周期。6.函数对称性的性质：（1）的图象关于直线对称。（2）一般地，若，则函数的对称轴方程是。（3）的图象关于点成中心对称。（4）函数关于及对称，则以为周期。.资料【考计点拨】牛刀小试：1．】已知函数是奇函数，则实数a=______________。【答案】【命题意图】本题主要考查奇函数的概念。【解析】由奇函数定义有得，故。2.若是上周期为5的奇函数，且满足，则（）A．－1B.1C.－2D.2【答案】A【解析】=+=3.(湖南省长沙一中2012届高三上学期月考)定义在
5、R上的函数是减函数，且函数的图象关于（1，0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是.资料4．①函数与是同一函数；高☆考♂资♀源*网②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。其中真命题是A.①②B.①③C.②③D.②【答案】C【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③,,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。③若奇函数对定义域内任意都有,则为周期函数．其中真命题是A．①②B．①③C．②③D．②【答案】C【解析】
6、考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③,,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。5.是定义在上的以3为周期的奇函数,且=0,则方程在区间(0,6)内解的个数是_____个.【答案】7【解析】因为=0,,=0,=0,是定义在上的奇函数,故,,取得,故,故方程在区间(0,6)内解的个数是7个.考点一函数的奇偶性及其应用例1：判断下列函数的奇偶性(1)(2)(3)（4）=.资料解析：判断函数的奇偶性，首先要求出函数的定义域，看定义域是否关于原点对称.然后利用定义判断，寻找和的关系.①由可得，所以函数的定义域是定义域关于原点不对称，故该
7、函数是非奇非偶函数.②，且，定义域关于原点对称，原函数可化简为，由=所以函数为奇函数.③因为f(－x)==－f(x)，故f(x)为奇函数（4）对于三角形1+sinx+cosx，当x=时，其值为2，当x=-时，其值为零，由此1可知原函数=的定义域中包含x=，但是不包含x=-，所以定义域不关于原点对称，所以是非奇偶的函数。规律总结：判断函数奇偶性是时，学生往往忽略求函数的定义域，导致错误；再者，不会合理变形，导致判断错误.变式训练1：判断下列函数的奇偶性.（1）；（2）（3）已知函数对任意都有.解析：具体函数先求函数定义域，分段函数分段讨论奇偶性，抽象函数
8、要合理取值，寻找和的关系.(1）函数的定义域为且.图象关于原点对称，又关于y轴对称，所以既是奇
