8、典例·促迁移直线与圆锥曲线的位置关系热点一考向1 位置关系判断考向2 由位置关系求参数范围【例2】过点A(0,1),斜率为k的直线l与抛物线y2=4x有两个不同的交点,则k的范围为.答案:(-∞,0)∪(0,1)【方法技巧】判断直线与圆锥曲线的位置关系有两种常用方法(1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.(2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.热点训练1:(1)过定点A的直线l与抛物线y2=
9、2x有且只有一个公共点,这样的l的条数是( )(A)0或1(B)1或2(C)0或1或2(D)1或2或3解析:(1)①当A在抛物线的外部时,共有三条直线与抛物线只有一个公共点(有两条是切线,一条与抛物线的对称轴平行);②当A在抛物线上时,有两条直线与抛物线只有一个公共点;③当A在抛物线的内部时,只有一条直线与抛物线只有一个公共点.故选D.答案:(1)D答案:(2)[1,5)∪(5,+∞)弦长、面积问题热点二(2)设直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A,B两点,O为坐标原点,椭圆E的离心率为e,若kOA·kOB=e2-1.
10、求证:△AOB的面积为定值.【方法技巧】(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形,若k不存在时,可直接求交点坐标再求弦长;(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.(3)圆锥曲线中的面积问题要注意面积公式的选择.热点训练2:(2014·全国Ⅰ卷,文20)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当
11、OP
12、=
13、OM
14、时,求l的方程及△POM的面积.求轨迹方程热点三【例4】(2016·全国Ⅲ卷,文20)已知抛
15、物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.【方法诠释】定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.定义法求轨迹方程已知圆C
16、1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆M圆心的轨迹方程.【方法技巧】求轨迹方程的常用方法(1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系f(x,y)=0.(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数.(3)定义法.(4)相关点法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程.(5)参数
17、法:当动点P(x,y)的坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.(2)若与坐标轴不垂直的直线l交轨迹E于A,B两点且OA⊥OB,求△OAB面积S的取值范围.备选例题挖内涵·寻思路(2)设过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,问在椭圆C上是否存在一点M,使四边形AMBF2为平行四边形,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.(2)当直线l的倾斜角为45°时,求线段CD的长;(3)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2,求
18、S1-
19、S2
20、的最大值.阅卷评析抓关键·练规范直线与圆锥曲线的位置关系(2016·全国Ⅰ卷,文20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.
