浅谈不等式的交汇题型

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1、浅谈不等式的交汇题型　　【摘要】不等式作为高考数学的重要内容，具有应用广泛、变换灵活、知识综合能力要求较高的特点。不等式问题在近几年的高考题中占有相当的比重。本文通过近几年的高考试题，简单的介绍下不等式与集合、逻辑、函数、向量、方程、立体几何交汇的方式，充分体现出不等式的工具性作用。　　【关键词】不等式；交汇　　不等式是中学数学的重要组成部分，它是刻画现实世界中的不等关系的数学模型，反映了事物在量上的区别，所以说不等式是数学的重要内容，是研究数量大小关系的必备知识，也是我们进一步学习数学和其他学科的基础和工具。从近几年高考试题综合分析来看，大致分为四类：解不等式

2、问题，求最大值、最小值问题以及求参数的取值范围，不等式的证明问题，不等式的应用问题。这些试题不仅考察了不等式的基础知识和基本方法，而且有效地考察了考生的逻辑推理能力、运算能力以及运用相关知识和方法去分析问题和解问题的能力。笔者结合近几年的高考试题，粗略地谈谈不等式的交汇问题的几种类型。　　一、不等式与集合交汇　　例：设常数a∈R，集合A={x

3、（x-1）（x-a）≥0}B={x

4、x≥a-1}若A∪B=R，则a的取值范围是（2013上海高考）　　解：当a>1时A=（-∞，1]∪[a，+∞），B=[a-1，+∞）4　　若A∪B=R，则a-1≤1　　∴1　　当a=1时

5、A=R此时A∪B=R　　当a<1时A=（-∞，a]∪[1，+∞），B=[a-1，+∞）　　若A∪B=R，则a-1≤a，显然成立　　∴a<1　　综上所述a的取值范围是（-∞，2]　　二、不等式与简易逻辑交汇　　例：设x∈R，则“”是“2x2+x-1>0”的条件（2012天津高考）　　解：不等式2x2+x-1>0的解是或x<-1　　所以是“2x2+x-1>0”成立的充分不必要条件　　三、不等式与函数交汇　　例：已知f（x）是定义在R上的奇函数。当x>0时，f（x）=x2-4x，则不等式f（x）>x的解集用区间表示为.　　解：做出f（x）=x2-4x（x>0）的图像，

6、如下图所示。　　由于f（x）是定义在R上的奇函数，　　利用奇函数图像关于原点对称做出x<0的图像。　　不等式f（x）>x，表示函数y=f（x）的图像在y=x的上方，　　观察图像易得：解集为（-5，0）∪（5，?∞）.　　四、不等式与方程交汇　　例：设m，k为整数，方程mx2-kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则　　m+k的最小值为（2011重庆高考）4　　解：设f（x）=mx2-kx+2=0，则方程mx2-kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根等价于，因为f（0）=2，所以f（1）=m-k+2>0，故抛物线开口向上，于是m>0，00，得k≥3，

7、则，所以m至少为2，但k2-8m>0，故k至少为5，又，所以m至少为3，又由m>k-2=5-2，所以m至少为4，……依次类推，发现当m=6，k=7时，m，k首次满足所有条件，故m+k的最小值为13　　五、不等式与向量交汇　　例：若平面向量满足，　　则的最小值是　　解：由向量的数量积知　　故（当且仅当=π时等号成立）　　由得　　（当且仅当=π时取等号）　　故的最小值是　　六、不等式与立体几何交汇　　例：如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示）.　　当BD

8、的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大。　　解：在如图1所示的△ABC中，设BD=x（0

9、系，更应重视不等式与其他章节的横向联系，加强化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想等数学思想方法在不等式中的应用训练，要强化不等式的应用，高考中各方面都有可能涉及不等式的知识，以利于高考选拔功能的充分发挥，因此在学习中应加强这方面的训练，提高应用意识。　　参考文献：　　[1]钟山.《高考备考工具书》.辽宁教育出版社，2010年3月　　[2]胡磊.基本不等式的交汇问题.《中学课程辅导》，2011年第4期4