积分中值定理——推广、改进与应用

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1、内蒙古财经学院本科毕业论文积分中值定理—推广、改进与应用作者付晓丹系别专业年级学号指导教师导师职称统计与数学学院数学与应用数学10级102091111乔节增教授内容提要本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理的改进以及积分中值定理的应用。我们讨论了积分第一屮值定理、积分第二屮值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学。我们将积分中值定理加以的推广和改进，由最初的在闭区间［G,®讨论函数/（X）的积分屮值定理

2、情形转换为在开区间（Q”）上讨论函数/（X）±的积分屮值定理，这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。对于应用，通过一些典型的例题说明如何应用积分中值定理解决问题。我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号,比较积分大小，证明函数的单调性等简单的应用。关键词：积分中值定理；推广；改进；应用一、积分中值定理4（一）积分第二中值定理4（二）积分第二中值定理4二、积分中值定理的推广7（一）积分第一中值定理的推广7（二）积分第二中值定理的推广7三、积分中值定理的改进8（一）积分第一中值定理的改进8（二）积分第二中值定理

3、的改进10四、积分中值定理的应用14（一）估计积分值14（二）求函数平均值15（三）求含定积分的极限16（四）确定积分号17（五）比较积分大小18（六）证明函数的单调性18(七)证明不等式19(八)判断某点存在性命题20(九)证明定理20五、结论22六、参考文献23积分中值定理■推广、改进与应用一、积分中值定理(一)积分第一中值定理定理如果函数/在闭区间［⑦/?］上连续，则至少存在一个点［a.b,使f{x)dx=f©(b-a),(a<^

4、］,使用积分不等式性质得到dx0,则存在§w[d,b],使得下式f/(x)g⑴必二g(a)『/(x)dx；(l—l)(li)若函数g在[d,S上增，且g(x)no,则存在?]E[a.b],使得下式『/(x)g(x)dx=g(“)『/(x)dx.(1—2)证(i)设xg[a,b.由于/在[a,切上可积

5、，因此F在[a,®上连续，从而存在最大值M和最小值加.若g⑷=0,由假设g(x)三0,xg[a,b]fjit时对任何[a,b]9(1—1)式恒成立•下面设g⑷>0,这是(1-1)式即为F©=£=土£/⑴gMdx(1—lz)所以问题转化为只需证明(1—3)因为由此可借助f的介值性立刻证得(i-r)•当然(1-3)式乂等同于m^(a)<£/(x)^(x)dx

6、/(x)

7、0,必有分割丁：a=x()

8、x)g(x)力按积分区间可加性写成Ja/=5L/W能)心乞『［g（x）-g（G）］/（兀）必+$gC_］）『fMdxi=v,z=im二厶+△对于人，必有

9、）g（s）/-I再由g（x）>0且减，使得其中g（xw_j）>0,g（Xj_

10、）-g（£）no,心1,2,・.・/-1.于是利用F（Xj）m,i=l,2,---,z:乂有I2>Mg（a）.综合Z=/,4-/2,/]V£,mg（a）

11、ii)成立.二、积分中值定理的推广(-)积分第一中值定理的推广定理若函数/和g在闭区间上连续，Mg(x)在上不变号，则在至少存在一点使得J：f(x)g(x)dx=/