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1、2003年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10月12日上午8:00-9:40)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2003年全国高中数学联赛)删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列的第2003项是(A)2046(B)2047(C)2048(D)20492.设日，方ER,a方H0,那么直线m—y+b=Q和曲线bx^ay=ab的图形是3.过抛物线?=8(^2)的焦点尸作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于人B两点，弦M的中垂线与x轴交于点P,则线段加的长等于(A)y(B)
2、(
3、C)y*/3(D)8羽4ipr5/r4.若［—迈⑷卽-彳］，则尸tan(丹乎)⑻暂5.已知wJF都在区间(一2,2)内,—tan(対彳)+cos(対彳)的最大值是(d)y/34Q且xt—1,则豳沪宀宀的最小值是4—x9—y,、12(D)T(0面体磁0中,设肋=1,炉廳，直线肋与CD的距离为2,体期的体积等于二.填空题(每小题9分，共54分)7.不等式
4、”3—2,—4
5、则+3〈0的解集是・8.设尽尺是椭圆詔=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且
6、册
7、:
8、朋
9、-2：1,贝!)△PRF2的面积等于.9.已知A={xx—4
10、x^3<0fxWR,^={x
11、21-x+a^0,2(計7)a+5W0,x^R}若心,则实数爲的取值范围是・357.已知a,b,c,d均为正整数，且log』2,logdj,若a—c书，则b—d=.8.将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于・9.设必={什进制）刀位纯小数0.a血…a.丨么只取0或1（7=1,2,—,1）,an=l},監是饥中元素的个数，$是必中所有元素的和，则畀良亨・三、（本歸分20分）13.设和貝5,证明不等式
12、2^xn+^/2z—3+^J15—3x<2LL!、（本歸分20分）14.设赢扶Q分别是复数Z弓+曲乙之+丘（其中&b。都是实取）对应的不共线的三点.证明=MZ=ZzCos^H2^cos"tsin"tt2zsin*f（fGR）与△磁中平行于"的中位线只有一^共点，并求出I比点.五、（本题满分20分）15.一张纸上画有一个半径为*的圆0和圆内一个定点虫，且0A=a,折叠纸片，使圆周上某一点灯刚好与点A重合.这样的每一种折法，都留下一条折痕.当川取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合.加试题（10月12日上午10
13、:00-12:00）一、（本题50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为人B,所作割线交圆于G〃两点,C在P、〃之间.在弦Q上取一点0,使乙DAQMPBC.求证：乙DBQ二乙PAC.二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数厶m,n.且J>ni>n>Q.已知滸卜｛滸｝，其中｛方勺一O],而O]表示不超过x的最大整数.求这种三角形周长的最小值.三、（本题50分）由刀个点和这些点之间的/条连线段组成一个空间图形，其中扃+旷1,喝畑1）2+1,心2,qEN.已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一
14、点至少有旷2条连线段.证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点人B、C、0和四条连线段仙、BC、CD、刃组成的图形）.那么直线ai—和bi^-ay=ab的图形是由直奘图形.可知AQ中的a<0,A19砲，与4厂中區为椭园矛盾.2003年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1.删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个数列的第2003项是⑷2046(B)2047(C)2048(D)2049【答案】C【解析】45^025,462116.在1至2025之间有完全平方数45个
15、，而2026至2115之间没有完全平方数.故1至2025中共有新数列中的2025-45=1980项.还缺2003-1980-23项.由2025+23-2048.知选C2•设少方【答案】B■■［解析】雌龍为三乙屯礁龍为尸址换ab由直线图形，可知艮0中的M0,则豔为焦点在工轴让的双雌I，極氏3.过抛物线y-8(A+2)的焦点尸作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于人B两点，弦M的中垂线与x轴交于点匕则线段〃的长等于(A)普(B)
16、(C)y*/3(D)8萌•【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0,0),弦曲所在直
17、线方程为y春x,弦的中点在以,中垂线方程为y=3,令尸0,得点P的坐标$上,即M中点为3.若xE［—罟，一自，则尸tan（对帑一tan（x+为+cos（x+为的最大值是（A）y^/2（B）-^/2（C）^/3（D）^/3【答•案】C［解析】令确二U，则对¥=時，当XE［—等一彳］时，UW［―手一彳］,24^^y=—(cotbtaiw)+c
