2008年全国高中数学联赛试题和详细解析

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1、2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超岀教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考査学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。答卷时间为100分钟。全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大

2、纲的内容。全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。答卷时问为120分钟。—试一、选择題（每小題6分，共36分）2-x在（-孔2）上的最小值是(B)12.设^=[-2s4),3={x

3、x:-ax-4<0}>若占二戏，则实数夕的取值范围为（(C)[03]5)[03)3.甲、乙两人进行乒寤够，约定每局胜者得1分，负者得0分，比萋进行到有一人比对方多2分勤蒂6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为2,乙在每局中获胜的槪率3为丄，且各局胜负相互独立，则比奏停止时四丁局数3的期望庄次（）.3••(A)1(B)2(C)3(D)

4、4(A)-241S1(B)266S1(C)_814(D)6702434.若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2,则这三个正方体的体积之和为（）。(A)764或586cm3(B)764cm3(C)586cm'或564cm3(D)586cm3兀+y+z=0,5.方程组'xyz+z=0,的有理数解（x,y,z）的个数为（）。xy+yz+xz+y=O6.设ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c成等比数列，则sinAcotC+cosAsinBcotC+cosB的取值范围是（（A）（0,+oc）（C）（些

5、空22二.填空题（每小题9分，共54分）7-设/(x)=ax-b几】&)=/(/(x))，斤=123：…，若/(.x)=128x^381，则a—占=8・设/(x)=cos2x-2^(1-cosx)的最小值为-”，则a9.将24个志鬆者名飯分fig给3个学按则每校至少有T名颔且各校名SE不相同的分配方法共有种.10.设数列盘.｝的前"项和S満足=S-Q=‘I，n=L2.・•・，则通项a===比S+1）11.设.广（兀）是定义在R上的函数，若/（0）=2008,且对任意xeR,满足/(x+2)-/W<3-2S/(x+6)-/(x

6、)>63-2S则/(200§=.12.一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4乔的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是三、解答题（每小题20分，共60分）13.已知函数/（%）sinx

7、的图像与直线y=kx仏〉0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为a,求证：cosa_1+a2sina+sin3a4a14.解不等式log2(x12+3x,0+5x8+3x6+1)v1+log2(x4+1)・15•如图，卩融物线十求近C面积的最小值.加试一.（本题满分50分）如图，给定凸四边形ABCD,

8、ZB+ZDV18O,P是平面上的动点，/(P)=PABC+PD・04+PC・43.（1）求证：当/（P）达到最小值时，P、A、B、C四点共圆;（2）设E是ABC外接圆。的上一点，满足:AB2ZECB=L/ECA，又DA,DC是O的切线，AC=Ji,求/（P）的最小值.2令D答一图1二.（本题满分50分）设/（Q是周期函数，丁和1是/（无）的周期且Oo（归,2,…）,且每个陽5=1,2,

9、…）都是/（兀）的周期.三、（本题满分50分）2008设@>0,21,2,,2008.证明：当且仅当时，存在数列｛£｝满足以下条件:k=l⑴0=xQA?=1,2,3,;(2)hmxn存在；W—>3020082(X)7(3)£一£-产工务畑•一工伽畑'〃T，2,3,k=lk=0一试解答I.【答案】C【解析】当x<2时fM=l+(4-4x+x2)2-x(2—兀)'2•2—x=2,当且仅当士=2“时取等号.而此方程有解2),因此"在(〜2)上的最小值为2.故选C.2.【答案】D【解析】因为疋一公一4=0有两个实根呂

10、斗a4-y>故3A部汙“一且兀S哄“且I—s解之得心O强D.3.【答案】B【解析］方法一：依題意知，孑的所有可能值为2、4、6.设每两局比奏为一fe,则该轮结束时1堆停止的槪率为若该轮结束时1堆还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得f，此时，该轮比務果对下轮比奏是否停止没有談此从而有F(g=2