第六章 定积分的应用

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1、第六章定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。一、教学目标与基本要求：使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、本章教学内容的重点难点：找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理

2、的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法§6.1定积分的微小元素法一、内容要点1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义面积面积元素=2、计算面积的元素法步骤：（1）画出图形；（2）将这个图形分割成个部分，这个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。§6.2定积分在几何中的应用一、内容要点1、在直角坐标系下计算平面图形的面积方法一第-47–页面积元素=，面积=第一步：在边界方程中解出的两个表

3、达式，.第二步：在剩下的边界方程中找出的两个常数值，；不够时由解出，，，面积=方法二面积元素=，面积=第一步：在边界方程中解出的两个表达式，.第二步：在剩下的边界方程中找出的两个常数值，；不够时由解出，，，面积=例1求，围成的面积解，，，。当时，于是面积例2计算围成的面积解由，得，，当时面积==18。2、在曲边梯形、、、（）中，如果曲边的方程为参数方程为，则其面积=，其中例3求轴与摆线,围成的面积解面积第-47–页　　　　例4星形线()围成的面积.解面积=3、极坐标系下计算平面图形的面积。极坐标曲线围成的面积的计算方法：解不等式，得到。面积=4、平行截面面积

4、为已知的空间物体的体积过轴一点作垂直于轴的平面，该平面截空间物体的截面面积为，,则该物体的体积例1一空间物体的底面是长半轴，短半轴的椭圆，垂直于长半轴的截面都是等边三角形，求此空间体的体积。解截面面积5、旋转体体积在上，曲线、直线围成的曲边梯形1）绕轴旋转一周形成旋转体，其截面面积，旋转体体积。2）绕轴旋转一周形成旋转体：位于区间[x,x+dx]上的部分绕轴旋转一周而形成的旋转体体积，原曲边梯形绕轴旋转一周形成的旋转体体积。例2摆线　与x轴围成的图形1）绕轴旋转形成的旋转体体积第-47–页=2）绕轴旋转形成的旋转体体积=3）绕旋转形成的旋转体的截面面积。绕旋

5、转形成的旋转体体积　　　　例3求心形线与射线、围成的绕极轴旋转形成的旋转体体积解心形线的参数方程为，，旋转体体积==6、平面曲线的弧长曲线方程自变量的范围弧微分弧长显函数参数方程极坐标表中当时，，，，，弧微分。例1求摆线　的长解　，，。弧长第-47–页例2摆线上求分摆线第一拱成1：3的点的坐标解　设A点满足要求，此时。根据例2摆线第一拱成弧长，。由条件弧OA的长为，即,,点A的坐标为例3求星形线的全长解　星形线的参数方程为,,,，.弧长。例4求对数螺线上到的一段弧长解，弧长==二、教学要求与注意点掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面

6、曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积一、直角坐标的情形定理1：由两条连续曲线,以及直线x=a,x=b所围平面图形的面积为：证明：有微小元素法：,则注意：第-47–页1．从几何意义容易看出2．若无这一条件，则面积3．同理，曲线与y=c,y=d所围区域的面积为，其中例1：求抛物线及其点和处的切线所围成图形的面积解：在点处，，切线方程在点处，，切线方程得交点定理2：若平面曲线由参数方程给出，且在[]连续，，则曲线与x=a,x=b以及x轴所围的曲边梯形的面积为：第-47–页例1．求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)

7、的一拱与x轴所为的面积解：二、极坐标的情形定理3：设曲线且在[]上连续，非负则有曲线与射线所围区域（称为曲边扇形）的面积为：证明：又微小元素法[]上的面积微元是：，所以例1、求双纽线所围的平面图形的面积。解：又由图形的对称性以及公式有：例2、求由曲线所围图形公共部分的面积第-47–页解：两曲线的交点+体积一、平行截面面积为已知的立体体积定理一：设V是位于[a,b]间的一空间立体，A(x)（）是截面积的函数，且在[a,b]上连续，则立体V的体积为证明：在[x,x+dx]上的体积微元是dV=A(x)dx,则体积为：例1：求由圆柱面所围立体的体积解：由于对称性，我

8、们只要求第一卦限立体体积，过x点（）且垂直于x轴的平