第六章定积分的应用

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1、第六章定积分的应用一、教学目标：1.理解元素法的基本思想；2.掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。3.掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。二、教学基本要求：掌握:1.定积分的元素法2.平面图形的面积的计算3.立体体积的计算4.平面曲线的弧长5.功、水压力和引力三、学时分配：共计12学时。四、重点与难点：重点：1.计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。2.计算变力所做的功、引力、压力和函数

2、的平均值等。难点：1.截面面积为已知的立体体积。2.引力。五、教学手段：教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与定积分的概念结合起来，使学生体会到学习微积分的必要性。注重各教学环节的有机联系,使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力。教学中有计划有目的地向学生介绍学习数学与学习专业课之间的关系，以调动学生的学习兴趣。§6-1定积分的元素法在定积分的应用中，经常采用元素法，为了说明这种方法，我们先回顾一下第五章中曲边梯形的面积问题。设在区间上连

3、续，且，求以曲线为曲边，底为的曲边梯形的面积。把这个面积表示为定积分的步骤是：⑴用任一组分点在区间分成若干个长度为（）的小区间，相应地，把曲边梯形分成个小曲边梯形，第个小曲边梯形的面积为，于是；⑵计算的近似值：（）;⑶求积得的近似值：；-56-第页⑷求极限，得。在上述问题中，所求量（即面积）与区间有关，如果把分成许多部分区间，则所求量相应地分成许多部分量（即），而所求量等于所有部分量之和（）这一性质成为所求量对于区间具有可加性，还要指出以来代替时，他们只相应一个比高阶的无穷小，因此和式的极限是的精确值，而可以表示为。在引出的积分表达式的四个步骤中，主要是第

4、二步，这一步要确定的近似值，使得。在实际应用中，为了简便起见，省略下标，以表示任一小区间上的窄曲边梯形的面积，这样，取左端点x处的函数值为高，为底的矩形面积作为的近似值，即，该式右端叫面积元素，记作。于是，则：一般地，如果某一实际问题中所求量符合下列条件：⑴是与一个变量的变化区间有关的量；⑵对于区间具有可加性，即若把区间分成许多部分区间，则相应地被分成许多部分量，而等于所有部分量之和；⑶部分量的近似值可表示为.那么就可以考虑用定积分来表达这个量。通常将这个量写成积分表达式的步骤是：１）根据问题的实际情况，选择一个变量，例如为积分变量，并确定他的变化区间；２

5、）设想把区间分成个小区间，任取其中一小区间，求出所求量相应与该小区间上的部分量近似值，如果能近似地表示为上的一个连续在处的函数值与的乘积，就把称为的元素，记作，即；３）以所求量的元素为被积表达式，在区间上作定积分，得，这就是所求量的积分表达式。这个方法叫做元素法。下面各节中我们将应用这个方法来讨论几何、物理中的一些问题。-56-第页§6-2平面图形的面积在第五章中我们知道，以，()及，和轴所围成曲边梯形的面积是定积分。被积表达式就是直角坐标系下的面积元素，他表示高为、底为的一个矩形面积。应用定积分不仅可以计算曲边梯形面积，还可以计算更复杂的图形的面积。例1

6、.计算由两条抛物线：所围成图形的面积。例2.计算抛物线与直线所围成图形的面积。例3.求椭圆所围成图形的面积（引入参数方程）一、一般地当曲边梯形的曲边，(，)由参数方程给出时，如果适合，（或）上具有连续导数，连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知，曲边梯形的面积为。二、极坐标的情形某些平面图形用极坐标来表示比较方便。设由曲线及射线围成一图形（简称曲边梯形）。现在要计算他的面积，这里在上连续，且，由于当在上变动时，极径也随之变动，因为，所求图形的面积不能用圆扇形的面积来计算。取极角的变化区间为，相应于任一小区间［］上的小曲边扇形的面积来近似代替，从

7、而得到这窄曲边梯形的面积近似值，即曲边扇形的面积元素。以为被积表达式，在闭区间上作定积分，便求得所求曲边扇形的面积为。例4.计算阿基米德螺线（）上相应于从到的一段弧与极轴所围成的图形的面积。例5.计算心形线（）所围成的图形的面积。§6-3体积一、旋转体的体积旋转体是指一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴。例如：圆柱、圆锥、圆台和球这些都是旋转体。分别可看作是矩形绕其一直角边、直角三角形绕其一直角边、梯形绕其直角腰、半圆绕其直径旋转一周而成的旋转体。这些旋转体可看作是由一条连续曲线和和轴所围成的曲边梯形绕-56-第页轴旋转一周而

8、成的立体，下面我们用定积分来计算这种旋转体的体积。取横坐标为积分变