第六章 定积分的应用

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1、第六章定积分的应用定积分的元素法（一）平面图形的面积（1）直角坐标情（2）极坐标情形（二）体积定积分的应用几何上应用（1）旋转体（2）平面截面面积为已知的体积（三）弧长物理上应用定积分元素法：（1）所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的一个整体量;(2)U对区间[a,b]具有可加性,(3)第一步第二步极坐标情形扇形面积旋转体积：绕X轴旋转成的体积：绕Y轴旋转成的体积：平行截面面积为已知的立体的体积：设一立体界于过点x=a,x=b且垂直于x轴的两平面之间,过点任意且垂直于x轴的截面面积A(x)为x的连续函数，体积为：定理光滑曲线是可求的参数方程：极坐标方程：弧长：平面图

2、形的面积(1)若平面图形由曲线所围成，则其面积为(2)若平面图形由曲线，所围成则其面积为旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴。所求的旋转体的体积为典例本章主要解决定积分的具体应用问题，分别是在几何学，物理学中的运用，充分体现了定积分的工具性，下面分别讨论在几何学和物理学中的运用实例。一、几何学在几何学中主要解决求平面图形面积，求体积，以及求平面曲线的弧长等问题，在这些问题中，主要运用定积分的元素法，无论是在直角坐标下还是在极坐标下，主要是得到对应所求项的元素（面积元素等），然后进行定积分运算即可，其中在极坐标下要对应以角度为积

3、分变量。例1计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.解：两曲线的交点选X为积分变量面积元素例2计算由曲线和所围成的图形的面积.解：两曲线的交点选X为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式例3计算由曲线和直线所围成的图形的面积.解:两曲线的交点选y为积分变量例4求椭圆的面积.解：椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例5连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形．将它绕轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，计算圆锥体的体积．解：直线OP方程为取积分变量为，在上任取小区间，以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为圆锥体的体积例6求以半径为的

4、圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的正劈锥体的体积.解：底圆方程为垂直于轴的截面为等腰三角形截面面积立体体积例7计算曲线上相应于从到的一段弧的长度.解：所求弧长为例8求星形线的全长.解：星形线的参数方程为根据对称性例9求极坐标系下曲线的长解：例10一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？解：取x为积分变量，取任一小区间,这一薄层水的重力为功元素为(千焦)．例11一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力．解：取为积分变量，取任一小区间小矩形片上各处的压强近似相等小矩形片的面

5、积为小矩形片的压力元素为端面上所受的压力例12有一长度为、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒单位处有一质量为的质点，计算该棒对质点的引力．解：取为积分变量取任一小区间将典型小段近似看成质点，小段的质量为小段与质点的距离为引力水平方向的分力元素由对称性知，引力在铅直方向分力为