第5章两自由度系统地振动

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1、实用标准文案第5章两自由度系统的振动应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。图5-1车辆模型如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C偏离其平衡位置的铅直位移z及平板的转角q来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。5.1双质量弹簧系统的自由振动5

2、.1.1运动微分方程图5-2两自由度的弹簧质量系统图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x1、x2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得(5-1)这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5-2)显然此时但对不同的系统，　式(5-2)中各系数的意义并不相同。5.1.2固有频率和主振型根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为精彩文档实用标准文案(5-

3、3)或写成以下的矩阵形式　　(5-4)将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组(5-5)保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即展开后为(5-6)式(5-6)唯一确定了频率满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是的二次代数方程，它的两个特征根为(5-7)由于式(5-7)确定的的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。5.2.2主振型将固有频率p1和p2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比(5-

4、8)精彩文档实用标准文案以上二式说明，虽然振幅的大小与振动的初始条件有关，但当系统以任一阶固有频率作同步谐振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。同时联系到式(5-3)不难看出两个质量块任意瞬时位移的比值也同样是确定的，并且等于振幅比，即：(5-9)其它各点的位移则都可以由和所决定。这样在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。也就是说，振幅比决定了整个系统的振动形态，因之称为主振型。与对应的振幅比称为第一阶主振型，与对应的振幅比称为第二阶主振型。将式(5-7)中的p1、p2之值带入式(5-8)，得(5-10)这表明，系统以频率振动

5、时，质量m1与m2按同一方向运动；以频率振动时，总是按相反的方向运动。系统以某一阶固有频率按其相应的主振型运动，称为系统的主振动。第一阶主振动为(5-11)第二阶主振动为(5-12)可见系统作主振动时，各点同时经过平衡位置和最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。但必须指出，并非任何情况下系统都可能作主振动。根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程(5-1)的通解，是它的两个主振动的线性组合，即(5-13)上式可以写成如下的矩阵形式，即(5-14)式中由运动的初始条件确定。所以一般情况下，系统的自由振动是两个不同频率的主振动的叠加，其结果不一定是简谐

6、振动。精彩文档实用标准文案例5-1试求图5-3(a)所示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1＝k2＝k3＝k，物体的质量m1＝m，m2＝2m。解：（1）建立运动微分方程式分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力图如图5-3(b)所示，它们的运动微分方程分别为图5-3两自由度系统若写成(5-2)的标准形式，则所以解出，。因此，系统的第一阶和第二阶固有频率为图5-4振型图（3）求主振型将、分别代入式(5-26)，得主振型为精彩文档实用标准文案系统的振型图如图5-4所示。图(a)

7、表明在第一主振型中二物体的振动方向是相同的；图(b)表明在第二主振型中二者的振动方向是反相的，并且弹簧上的A点是不动的，这样的点称为节点。例5-2在图示5-3所示系统中，已知，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm，；（2）。解：系统的的运动微分方程分别为若写成(5-2)的标准形式，则所以解出，。对应的两个主振型为将初始条件（1）代入式(5-10)，解得因此，所以这表明，其响应为频率p1、p2的两种主振动的线性组合。精彩文档实用标准文案再将初始条件（2）代入式(5-10)，得所以这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按

8、第二主振型以频率p2作谐