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1、第四节三重积分及其计算和多重积分在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n维空间中去.类似于第三节,我们先定义一个R3中集合的可求体积性.同样可以给出一列类似的结论.读者自己推广.这里将不再赘述.一、引例设一个物体在空间R3中占领了一个有界可求体积的区域，它的点密度为，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域分割为若干个可求体积的小区域，其体积分别是，直径分别是，即,(i=1,2,…,n）,
2、WQ
3、表示W,Q两点的距离．设，则当很小时，在上的变化也很小．可以用这个小区域上的任意一点的密度来近似整个小区域上的密度，这样我们
4、可以求得这个小的立体的质量近似为，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即．当时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即．从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分．二、三重积分的定义设是空间中的一个有界可求体积的闭区域V上的有界函数，将V任意分割为若干个可求体积的小闭区域，这个分割也称为V的分划，记为P:.(空,),其体积分别是，直径分别是．设,或记为
5、
6、P
7、
8、.在每个小区域中任意取一点，作和(称为Riemann和)，若当时，这个和式的极限存在，
9、则称其极限为函数在区域上的三重积分，记为．并称函数在区域上可积．称为被积函数,x,y,z称为积分变量.,V称为积分区域.特别地，在直角坐标系下，可以记为．我们同样可以引入Darboux大,小和来判别可积,也有同样的结论(略).1.若是有界闭区域上的连续函数，则函数在区域上可积．2.若=1时,的体积.3.若在有界闭区域上的间断点集合是0体积时,在可积.三重积分有着与二重积分类似的性质．下面简单叙述一下．１．可积函数的和（或差）及积仍可积.和（差）的积分等于积分的和(差)．２．可积函数的函数倍仍可积.其积分等于该函数积分的倍．３．设是可求体积的有界闭区域，在
10、上可积，分为两个无共同内点的可求体积的闭区域之并，则在上可积，并有．等等.一、三重积分的计算方法同二重积分一样,我们这里给出三重积分的计算方法,理论上的证明读者自己完成..1.利用直角坐标系计算三重积分先给一个结论.定理12.14若函数是长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的可积,记D=[c,d]×[e,h],对任意x∈[a,b],二重积分存在,则(记为)也存在,且.这时右边称为三次积分或累次积分,即三重积分化为三次积分.证明分别中[a,b],[c,d],[e,h]插入若干个分点;;作平面,,,(i=0,1,2,…,n;,ji=0,1,2,…,
11、m;k=0,1,2,…,s,)得到V的一个分划P.令(i=1,2,…,n;,ji=1,2,…,m;k=1,2,…,s,),,分别是在上的上,下确界.那么在上有其中Δxi,=xi-xi-1,Δyj,=yj-yj-1,Δzk,=zk-zk-1,(i=1,2,…,n;,ji=1,2,…,m;k=1,2,…,s,).因可积，所以当
12、
13、P
14、
15、趋于0时，Darboux大,小和趋于同一数，即三重积分.zxy故定理得证.hzxyDz如果V如右图,zxzxye≤z≤h,z=z与V的截面面积为Dz,ezxy图12-4-1yxy不难得到,若函数在V上的可积,那么.下面给出一般
16、三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成．设函数在有界闭区域上连图12-4-2续，我们先讨论一种比较特殊的情况．，其中为在平面上的投影，且．如图1２．我们现在轴上做积分，暂时将看成是常数．把函数看作是的函数，将它在区间上积分得到．显然这个结果是的函数，再把这个结果在平面区域上做二重积分．在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果．若平面区域可以用不等式表示，则．这个公式也将三重积分化为了三次积分．如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算．例1计算三重积分，其中是由三个坐标面和平面所围的立体区域．解积分区域如图所示，可以用不等式表
17、示为，所以积分可以化为图12-4-3四、三重积分的积分变换和二重积分的积分变换一样，有如下的结果:定理12.15设V是uvw空间R3中的有界可求体积的闭区域，T：x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),是V到xyz空间R3中的一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且(称为Jacobi).如果f(x,y,z)是T(V)上的可积函数，那么在R3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标.1.利用柱面坐标计算三重积分前面我们可以看到，由于积分区域与被积函数的特点，二重积分可以用极坐标来计算．同样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算．我们先讨
18、论用柱面坐标来计算三重积分．设空间中有一点，其在坐标面上的投影点的极坐标为，这样
