平面向量的概念及线性运算(1)

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1、平面向量的概念及线性运算知识点一：向量的概念　　1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.　　2．向量的表示方法:　　(1)字母表示法:如等.　　(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等.　　(3)向量的有关概念　　　向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).　　　零向量:长度为零的向量叫零向量.　　　单位向量:长度等于1个单位的向量.　　　相等向量:长度相等且方向相同的向量.　　　相反向量:长度相等且方向相反的向量.　　　共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).　　　规定:与任一向量共线.　　要点诠释：　　1．数量与向量

2、的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；　　　向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.　　2．零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.　　3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在　　　同一直线上的线段的位置关系.知识点二：向量的加(减)法运算　　1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则　　2．运算律：①交换律：；②结合律：　　要点诠释：　　1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与　　　终点.　　2．.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题.知识

3、点三：数乘向量　　1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：　　(1)；　　(2)①当时，的方向与的方向相同；　　　②当时.的方向与的方向相反；　　　③当时，.　　2．运算律　　设为实数　　结合律：；　　分配律：，　　3．共线向量基本定理　　非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使.　　要点诠释：　　是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.类型一：向量的基本概念　　1．判断下列各命题是否正确：　　(1)若，则；　　(2)若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；　　(3)若，则　

4、　(4)两向量相等的充要条件是且.　　思路点拨：相等向量即为长度相等且方向相同的向量.　　解析：　　(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出.　　(2)正确，且.又A、B、C、D是不共线的四点，四边形是　　　　　　平行四边形，则且与方向相同.因此.　　(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的　　　　　　长度相等且方向相同.故.　　(4)不正确，当但方向相反时，即使，也不能得到，故不是的充要　　　　　　　条件.　　总结升华：我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的.复习向量时，要注意将向量

5、与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来.　　举一反三：　　【变式1】下列说法正确的个数是()　　①向量，则直线直线　　②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；　　③向量既是有向线段；　　④在平行四边形中，一定有.　　A.0个　　　B.1个　　　C.2个　　　D.3个　　【答案】C类型二：向量的线性运算　　2．如图所示，的两条对角线相交于点，且用表示　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨：利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是，由它可以“生”成.　　解析：在中　　　　　　　　　　　　总结升华：用已知向量

6、来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.　　举一反三：　　【变式1】如图，△中，点是的中点，点在边上，且，与相交于点，求的值.　　【答案】解：(如图)设　　　　　　　　则　　　　　　

7、　　和分别共线，　　　　　　　　∴存在　　　　　　　　使　　　　　　　　故，而　　　　　　　　∴由基本定理得　　　　　　　　即类型三：共线向量与三点共线问题　　3．设两非零向量和不共线，　　(1)如果求证三点共线.　　(2)试确定实数，使和共线.　　思路点拨：要证明三点共线，须证存在使即可.而若和共线，则一定存在，使.　　解析：(1)证明　　　　　　　　共线，又有公共点，　　　　　　　　∴三点共线.　　　　　(2)解∵和共线，　　　　　　　　∴