数学小论文-浅谈求函数极限方法

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1、浅谈求函数极限方法摘要：本文列举了微积分中对于不同类型函数的具体求极限方法，将不同函数极限归类总结，利用极限运算法则，等价无穷小代换法，消去零因子法，无穷小因子分出法，同乘共轭因式法等方法，使求函数极限更为迅速简单。一、极限运算法则定理1(无穷小运算法则)在同一过程中,1、两个无穷小的代数和仍是无穷小。2、有界变量与无穷小的乘积是无穷小。推论1：有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小。推论2：常数与无穷小的乘积是无穷小。推论3：两个无穷小的乘积也是无穷小。定理2(极限四则运算法则)二、求极限方法举例求函数极限，我们首先

2、应该判别极限形式，再分析求极限方法。1、类型一：分母为O型例：解：=0商的法则不能用.由无穷小与无穷大的关系,得2、类型二：在极限运算中，最常用到的方法是消去零因子法。当x趋近于0时，则要立刻想起等价无穷小替换和两个重要极限，关于等价无穷小替换，详见后文。而在解题过程中，我们还经常会用到分子、分母有理化，换元法等方法。方法一：消去零因子法因式分解，先约去不为零的无穷小因子，再求极限。例：解：分子,分母的极限都是零=4方法二：等价无穷小替换法例：求解：，/方法三：重要极限法利用两个重要极限变形求函数极限I.扩展：极限

3、式中含三角函数或反正弦函数、反正切函数,且为型未定式时,常用到第一个重要极限.特别注意：不成立II．扩展：；3、类型三：（无穷小分出法）求有理函数当的极限时，先将分子、分母同除以x的最高次幂，以分出无穷小再求极限。这里我向大家分享做类型题的规律，用在考试时可节省时间。我们知道，在多项式中，x的最高次幂决定着函数的变化速率。根据分子、分母函数变化速率的快慢，我们可得出结论：当分子x的最高次幂高于分母，即变化速率快，此时极限结果为无穷；当分子x的最高次幂低于分母，即变化速率慢，此时极限结果为0，而分子、分母最高次幂相同

4、时，即变化速率相同，极限结果为最高次项系数比。当时=当时=0当时=例：解：分子,分母均为无穷大.先用去除分子分母，分出无穷小，再求极限。4、类型四：（复合函数求极限法）用变量代换方法求极限，实质就是复合函数求极限法.例：解：已知∴原式=用复合函数求极限方法，下文时我们需要记住几个重要单侧极限：5、类型五：（同乘共轭因式法）可以使用通分的方法或者使例：此处用到分式加减运算的常用处理方法：分子有理化。6、类型六：和式的项数随着n在变化，不能用运算法则，先作恒等变形，使和式的项数固定,再求极限。此处介绍一下n项式求和小方

5、法：（1）利用公式:等比数列,等差数列,部分和公式等。（2）分项:把通项中的每一项分成两项和,通过正负项相加,消去若干项,从而简化通项表达式。例：原式=7、类型七：分段函数求极限例：解：是函数的分段点，左右极限为=1=1左右极限存在且相等，8、类型八：当时，利用等价无穷小代换求极限这里我们列出了一些重要的等价无穷小，请大家熟记：这里有一点需要特别注意：等价无穷小代换只能用在乘、除的极限运算中，而和、差的极限运算不宜使用。例：错解：在做差的情况下单个使用等价无穷小代换，显然错误。正解：9、类型九：第II个重要极限扩展

6、：；若极限呈但不符合括号中1后的变量(包括符号)与幂互为倒数，则通常凑指数幂使括号中1后的变量(包括符号)与幂互为倒数。结语：上文归纳整理了微积分中对于不同类型函数的具体求极限方法，根据本人做题经验，整理出了需要特别注意的地方和一些规律性结论，也对做题中要经常使用的化简方法，公式等做了详细描述，希望能令读者有所获益。