求极限的方法总结__小论文

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1、高数论文10物本常杰101180141028求数列极限的方法总结极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了

2、。1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有<,我们就称a是数列{Xn}的极限.记为.例1:按定义证明.解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n令1/n<,则让n>即可,存在N=[],当n>N时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<成立,所以.2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.例2:求,其中.解:分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算

3、法则求极限,原式=,3.利用夹逼性定理求极限若存在正整数N,当n>N时,有Xn≤Yn≤Zn,且,则有.例3:求{}的极限.解:对任意正整数n,显然有,而,,由夹逼性定理得.4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单.例4.求极限，此时解：若有，令则5.单调有界原理例5.证明数列有极限，并求其极限。证：令，易知｛｝递增，且我们用归纳法证明≤2.显然。若≤２则。故由单调有界原理｛｝收敛，设→，则在中两边取极限得即解之得=２或=-１明显不合要求，舍去，从而6.先用数学归纳法,再求极限.例6:求极限解:S=设=则有S

4、=而,再由夹逼性定理,得=07.利用两个重要极限,.例7:求解:原式=8.利用等价无穷小来求极限将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限.例8:求解:当的时候,,.而此时,,所以原式=9.用洛必达法则求极限.适用于例9:求解:是待定型.=10.积分的定义及性质例10:求解:=设,则在[0,1]内连续,所以,所以原式=11.级数收敛的必要条件.设据必要条件知所求表达式的极限为0.例11:求解:设,则所以该级数收敛,所以=012.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数的恒等变形。例12.求解

5、：法一：原式=法二：原式=13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。例13：求的值解：奇数列为=0偶数列为=0所以=014．利于泰勒展开式求极限。例14.求解：原式=(令t=)===15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等。例15：求的值解：因为是无穷小量，而是有界变量，所以还是无穷小量，即=016.利用数列的几何、算术平均值求极限。数列{}有极限，则它的几何平均值和算术平均

6、值的极限与与原极限相同。例16：求的值解：==设=，因为知=1所以，所求原式的极限就等于{}的极限即原式==17.绝对值中的极限若,则例17：求的值解：==018.利用黎曼引理例18：求（a>0）解：原式=数列极限的方法还有很多，以上给与大致列举。本文在写作过程中得到了老师多次精心指导，在此表示感谢。参考文献1.欧阳光中、朱学炎、金福临等，数学分析第三版上册，高等教育出版社，1978年