求极限的方法总结__小论文.doc

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1、求数列极限的方法总结数学科学学院数学与应用数学08级汉班**指导教师****摘　要　数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。关键词数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有

2、界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的〉0,总存在一个正整数N，当n〉N时,都有<,我们就称a是数列{Xn}的极限.记为.例1:按定义证明.解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n令1/n<,则让n>即可,存在N=[],当n>N时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<成立,所以.2.利用极限四

3、则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.例2:求,其中.解:分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限,原式=,3.利用夹逼性定理求极限若存在正整数N,当n>N时,有Xn≤Yn≤Zn,且,则有.例3:求{}的极限.解:对任意正整数n,显然有,而,,由夹逼性定理得.4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单.例4.求极限，此时解：若　有　，令则5.单调有界原理例5.证明数列有极限，并求其极限。证：　令，易知｛｝递增，且我们用归纳法证明　≤2.　显然。若≤２　则。故由单调有界原理｛｝收敛

4、，设→，则在　中两边取极限得　　　即　解之得　=２　或　=-１　明显不合要求，舍去，从而　　　6.先用数学归纳法,再求极限.例6:求极限解:S=设=则有S

5、件知所求表达式的极限为0.例11:求解:设,则所以该级数收敛,所以=012.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数的恒等变形。例12.求解：法一：原式=法二：原式=13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限。例13：求的值解：奇数列为=0偶数列为=0所以=014．利于泰勒展开式求极限。例14.求解：原式=(令t=)===15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量，无穷小量与无穷大量互为倒数的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等

6、等。例15：求的值解：因为是无穷小量，而是有界变量，所以还是无穷小量，即=016.利用数列的几何、算术平均值求极限。数列{}有极限，则它的几何平均值和算术平均值的极限与与原极限相同。例16：求的值解：==设=，因为知=1所以，所求原式的极限就等于{}的极限即原式==17.绝对值中的极限若,则例17：求的值解：==018.利用黎曼引理例18：求（a>0）解：原式=数列极限的方法还有很多，以上给与大致列举。