高中数学 3.3.1《双曲线及其标准方程》教学设计 北师大版选修2-1

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1、2.3.1《双曲线及其标准方程》教学设计【教学目标】1.理解双曲线的概念；会用双曲线的定义解决实际问题；2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法.【导入新课】实例导入当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、试举出现实生活中双曲线的例子．思考与探究P56页上的问题：准备无弹性的细绳子两条，一条约10

2、cm长，另一条约6cm每条一端结一个套和笔尖带小环的铅笔一枝，一端结个套，另一端是活动的，图钉两个．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？新授课阶段1.双曲线的定义把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为时，双曲线即为点集.2.双曲线标准方程的推导过程具体推导过程省略.类比椭圆：设参量的意义：第一

3、、便于写出双曲线的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义.焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程为；焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程.注意：的关系为：.例1已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点到，距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出.解：根据题意得到所求双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的标准方程为：，根据双曲线的定义得，，，所以所求双曲线的标准方程为：.变式训练：求下列动圆的圆心的轨迹方程：⑴与⊙：内切，且过点；⑵与⊙：和⊙：都外切；⑶与⊙：外切，且与⊙：内切.解：设动圆

4、的半径为.⑴∵⊙与⊙内切，点在⊙外，∴，，因此有，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，即的轨迹方程是；⑵∵⊙与⊙、⊙均外切，∴，，因此有，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，∴的轨迹方程是；⑶∵与外切，且与内切，∴，，因此，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，∴的轨迹方程是.例2已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.解：因正西、正北同时听到巨响，

5、则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上.如图，以接报中心为原点，正东、正北方向分别为轴、轴方向，建立直角坐标系，设、、分别是西、东、北观察点，则，，.设为巨响发生点，∵、同时听到巨响，∴所在直线为……①，又因点比点晚听到巨响声，∴．由双曲线定义知，，，∴，∴点在双曲线方程为……②．联立①、②求出点坐标为.即巨响在正西北方向处.课堂小结1.掌握双曲线的定义，理解该定义在解题中的运用；2.理解双曲线的标准方程的推导过程.作业见同步练习部分拓展提升1．点P是以F1，F2为焦点的双曲线上的一点，

6、且

7、PF1

8、=12，则

9、PF2

10、=（）A．2　　B．22　　C．2或22　　D．4或222．双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是（）A.3B.2C.D.3．已知F1（－3，0），F2（3，0），且

11、PF1

12、－

13、PF2

14、=6，则动点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的左支C．一条射线D．双曲线的右支4．设F1、F2是双曲线－=1(＞0)的两焦点，点P在双曲线上,∠F1PF2=90°，若Rt△F1PF2的面积为1，那么的值是（）A. 　　　B. 1　　C. 2　　　D. 5.到

15、两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A.  直线       B.    椭圆     C.    抛物线        D.双曲线6.已知方程的图象是双曲线，那么k的取值范围是.7.在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设

16、BC

17、=m，当三个角Ａ，Ｂ，Ｃ有满足条件

18、sinC－sinB

19、=sinA时，求顶点的轨迹方程.参考答案1．C【解析】用双曲线的定义.2．B【解析】将距离用基本量表示.3．C【解析】注意双曲线定义中到两定点距离之差的绝对值小于两定点间的距离.4．B【解析】用双曲线的定

20、义.5．D【解析】排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B.6．K＜１或k＞２【解析】x2,y2的分母异号.7.解：以BC所在直线为轴，线段BC的中点