2013-2014学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦同步训练 苏教版必修4

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1、3.1.2　两角和与差的正弦一、填空题1．sin245°sin125°＋sin155°sin35°的值是________．2．若锐角α、β满足cosα＝，cos(α＋β)＝，则sinβ的值是________．3．已知cosαcosβ－sinαsinβ＝0，那么sinαcosβ＋cosαsinβ的值为________．4．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为________．5．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sinC＝2cosAsinB，则三角形A

2、BC一定是________三角形．6．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是______．7．在△ABC中，cosA＝，cosB＝，则cosC＝________.8．式子的值是________．二、解答题9．已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，求β.10．已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．11．已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)．三、探究与拓展12．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2

3、α－sin2β，并利用该式计算sin220°＋sin80°·sin40°的值．答案1．－　2.　3.±14．25．等腰6.7.8.9．解　∵α为锐角，sinα＝，∴cosα＝.∵－<α－β<且sin(α－β)＝－，∴cos(α－β)＝，∴sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝×＋×＝，∵β为锐角，∴β＝.10．解　因为<β<α<，所以0<α－β<，π<α＋β<.又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，所以sin(α－β)＝＝＝，cos(α＋β

4、)＝－＝－＝－.所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝×＋×＝－.11．解　∵0<α<<β<，∴<＋α<π，－<－β<0.又sin＝，cos＝，∴cos＝－，sin＝－.cos(α＋β)＝sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝－.12．证明　左边＝sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝s

5、in2α(1－sin2β)－(1－sin2α)sin2β＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β＝sin2α－sin2β＝右边．∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β.∴sin220°＋sin80°·sin40°＝sin220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin220°＋sin260°－sin220°＝sin260°＝.