2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦讲义苏教版必修4

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1、3.1.2　两角和与差的正弦学习目标核心素养(教师独具)1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)通过学习本节内容，提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.两角和与差的正弦公式1．两角和的正弦公式：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.2．两角差的正弦公式：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.3．辅助角公式asinx＋bcosx＝，令cosφ＝，sinφ＝，则有asi

2、nx＋bcosx＝(cosφsinx＋sinφcosx)＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝，φ为辅助角．思考1：如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？[提示]　sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscosβ＋sinsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.思考2：如何推导两角差的正弦呢？[提示]　可以由sin(α－β)＝cos＝cos得到，也可以由sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]得到．1．思考辨析(1)sin150°＝sin120°＋sin30°.(　　)(2)sin60°c

3、os30°＋cos60°sin30°＝.(　　)(3)α，β∈R时，sin(α－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(　　)(4)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.(　　)[解析]　(1)公式错误．(2)原式＝sin(60°＋30°)＝sin90°＝1.(3)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(4)原式＝sin54°cos24°－cos54°sin24°＝sin(54°－24°)＝sin30°.[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．si

4、n－cos＝________.－　[原式＝2＝2＝2sin＝－2sin＝－.]3.等于________．　[原式＝＝＝sin30°＝.]两角和与差的正弦公式的简单应用【例1】　求下列各式的值：(1)sin163°sin223°＋sin253°sin313°；(2).思路点拨：(1)从角和“形”入手，转化成两角和(差)的正弦求值．(2)注意角的差异与变换：55°＝(60°－5°)，85°＝90°－5°.[解]　(1)原式＝sin163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋

5、133°)＝sin163°cos133°－cos163°sin133°＝sin(163°－133°)＝sin30°＝.(2)原式＝＝＝＝1.1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正负相消的项，消去求值；(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．提醒：在逆用两角和与差的

6、正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．求下列各式的值：(1)sin165°；(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．[解]　(1)sin165°＝sin(180°－15°)＝sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝.(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝si

7、n(14°＋16°)＝sin30°＝.(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos60°＋cos(θ＋15°)sin60°＋cos(θ＋15°)cos30°－sin(θ＋15°)sin30°－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.给值求值【例2】　已知0＜β＜，＜α＜，cos＝

8、，sin＝，求cos(α＋β)的值．思路点拨：注意－＝＋(α＋β)，可通过求出＋β和－α的正、余弦值来求cos(α＋β)．[解]　由0＜β＜，＜α＜π得－＜－α＜0，π＜π＋β＜π.∴cos＝－，sin＝－，cos(α＋β)＝sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝－.解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来.(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2