数学分析》考试大纲(2)

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1、《数学分析》考试大纲一、本大纲适用于报考苏州科技学院基础数学专业的硕士研究生入学考试。主要考核数学分析课程的基本概念、基本理论、基本方法。二、考试内容与要求(一)实数集与函数1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式;2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理;3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。要求：了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等

2、式；弄清区间和邻域的概念,理解确界概念、确界原理，会利用定义证明一些简单数集的确界；掌握函数的定义及函数的表示法，了解函数的运算；理解和掌握一些特殊类型的函数。(二)数列极限1、极限概念；2、收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性；3、数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则。要求：逐步透彻理解和掌握数列极限的概念；掌握并能运用e-N语言处理极限问题；掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界函数和迫敛性定理)，并能运用；了解数列极限柯西准则,了解子列的概念及其与数列极限的关系；了解

3、无穷小数列的概念及其与数列极限的关系.(三)函数极限1、函数极限的概念，单侧极限的概念；2、函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性；3、函数极限存在的条件：归结原则（Heine定理），柯西准则；4、两个重要极限；5、无穷小量与无穷大量，阶的比较。要求：理解和掌握函数极限的概念；掌握并能应用e-d,e-X语言处理极限问题；了解函数的单侧极限，函数极限的柯西准则；掌握函数极限的性质和归结原则；熟练掌握两个重要极限来处理极限问题。(四)函数连续1、函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，

4、单侧连续的定义，间断点及其分类；2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；3、初等函数的连续性。要求：理解与掌握一元函数连续性、一致连续性的定义及其证明，理解与掌握函数间断点及其分类，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念；能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质；了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。（五）导数与微分1、导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；2、求导法则：导数公

5、式、导数的运算(四则运算)、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）；3、微分：微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；4、高阶导数与高阶微分。要求：理解和掌握导数与微分概念，了解它的几何意义；能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数；理解单侧导数、可导性与连续性的关系，高阶导数的求法；了解导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。（六）微分学基本定理1、中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；2、几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则；3、泰勒公式

6、。要求：掌握中值定理的内容、证明及其应用；了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开；能熟练地运用罗必达法则求不定式的极限（七）导数的应用1、函数的单调性与极值；2、函数凹凸性与拐点.要求：了解和掌握函数的某些特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点)及其判断方法，能利用函数的特性解决相关的实际问题。（八）实数完备性定理及应用1、实数完备性六个等价定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理；2、闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理的证明，最大小值性定

7、理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明；3、上、下极限。要求：了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明；理解聚点的概念，上、下极限的概念。（九）不定积分1、不定积分概念；2、换元积分法与分部积分法；3、几类可化为有理函数的积分；要求：理解原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法、简单无理式和三角有理式积分法。（十）定积分1、定积分的概念：概念的引入、黎曼积分定义，函数可积的必要条件；2、可积性条件：可积的必要条件和充要条件，达布上和与达布下和，可积函数类(连续函数，

8、只有有限个间断点的有界函数，单调函数)；3、微积分学基本定理：可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；4、非正常积分：无穷积分收敛与发散的概念，审敛法（柯西准则，比较法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法。要求：理解定积分概念及函数可积的条件；熟悉一些可积分函数类，会一些较简单的可积性证明；掌握定积分与可变上限积分的性质；能较好地运用牛