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时间:2018-12-25
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1、第二讲:导数与微分导数:对于函数:如果极限存在,则称在处可导,记其极限值为注:有正负!!!如果极限存在,则称在处具有左导数,记为;如果极限存在,则称在处具有右导数,记为。如果函数在一段连续区间D上的每个点都可导,则称在D上可导(对于闭区间端点,只要对应的单侧导数存在即可)由可导的定义可以退出:可导必定连续!!!例:1、讨论函数在其定义域上的可导性2、设则在=0处可导(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在3、设函数,则在内(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点4、设,试确定的值,使该
2、函数在处可导5、若存在,则。6、(思考)设函数在上有界且可导,则(A)当时,必有(B)当存在时,必有(C)当时,必有(D)当存在时,必有.小结论:奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数;周期函数的导函数依然是周期函数微分:对于函数:如果存在一个只与有关而与无关的数,使得当时,有:则称在处可微,称为在处的微分,记为:定理:(导数与微分的关系)若在处可微,则:,故微分运算也常记为:由该定理可知:可微可导例:设函数具有二阶导数,且,为自变量在处的增量,与分别为在点处对应的增量与微分,若,则(A)(B)(C)(D)基本求导公式
3、:函数的和、差、积、商的求导法则:设,都可导,则 (1) (2) (是常数) (3) (4) 例:求导反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且,则它的本义反函数在对应区间内也可导,且 或 复合求导公式(链式法则):设,而且及都可导,则复合函数的导数为或由该定理可以推出定理:一阶微分具有形式不变性 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) , (13) (14) (15) (16) 隐函数的求导与求微分例:参
4、数函数的微分公式:对于参数函数,其中严格单调,若、均可微同时,则该参数函数可微且:例:已知,求:高阶导数与高阶微分若函数的导函数在点可导,则称在点的导数为在点的二阶导数,记作,即,此时称在点二阶可导。如果在区间I上每一点都二阶可导,则得到一个定义在I上的二阶可导函数,记作,,或记作,,。注意区分符号与:,函数的二阶导数一般仍旧是的函数。如果对它再求导数,如果导数存在的话,称之为函数的三阶导数,记为,,或。函数的阶导数的导数称为函数的阶导数,记为,,或。相应地,在的阶导数记为:,,。二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数。例:函数在
5、处几阶可导高阶导数的运算1.。2.莱布尼兹公式:其中,。注将Leibniz公式与二项式展开作一比较可见:。(这里),在形式上二者有相似之处。例:求次多项式的各阶导数.…常用的高阶导数:;;;;(4),特别的,当时,有.参数函数高阶导数设,均二阶可导,且,由参数方程所确定的函数的一、二阶导数:,.这里一定要注意,在求由参数方程确定的函数的导数时,是中间变量,而符号表示对求二次导数,因此.反函数高阶导数若函数在某区间内二阶可导、单调且,则它的本义反函数在对应区间内也二阶可导,且例:1、(隐函数高阶导数)已知求.2、设,其中二阶可导
6、,且,则=。3、(参数函数高阶导数)求方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数。4、(反函数高阶导数)设函数在内具有二阶导数,且是的反函数.试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程.
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