2014届高三数学一轮复习 （教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）专讲专练 3.3　导数的应用(二)

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1、2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：3.3　导数的应用(二)一、选择题1．若函数f(x)＝x3－x2＋1，则f(x)(　　)A．最大值为1，最小值为B．最大值为1，无最小值C．最小值为，无最大值D．既无最大值，又无最小值解析：f′(x)＝3x2－3x，易知f(x)在(－∞，0)上递增，在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，且当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→－∞时，f(x)→－∞，因此f(x)无最大值与最小值．答案：D2．函数f(x)＝exsinx在区间上的值域为(　　

2、)A．[0，e]　　　　　　　B．(0，e)C．[0，e)D．(0，e]解析：f′(x)＝ex(sinx＋cosx)．∵x∈，∴f′(x)＞0.∴f(x)在上为增函数，∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝e.答案：A3．若函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为(　　)A.B.C.＋1D.－1解析：f′(x)＝＝，当x＞时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当－＜x＜时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＝时，令f(x)＝＝，＝＜1，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝＝，

3、a＝－1.答案：D4．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于(　　)A.B.C.D．1解析：由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.令f′(x)＝－a＝0，得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0.∴f(x)max＝f＝－lna－1＝－1.∴a＝1.答案：D5．(2013·荆州调研)设动直线x＝m与函数f(x)＝x3、g(x)＝lnx的图像分别交于点M、N，则

4、MN

5、的最小值为(　　)A.(1＋

6、ln3)B.ln3C．1＋ln3D．ln3－1解析：由题意知

7、MN

8、＝

9、x3－lnx

10、，设h(x)＝x3－lnx，h′(x)＝3x2－，令h′(x)＝0，得x＝，易知当x＝时，h(x)取得最小值，h(x)min＝－ln＝＞0，故

11、MN

12、min＝＝(1＋ln3)．答案：A6．(2012·课标全国)设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则

13、PQ

14、的最小值为(　　)A．1－ln2B.(1－ln2)C．1＋ln2D.(1＋ln2)解析：显然y＝ex和y＝ln(2x)的图像关于直线y＝x对称，令y′＝ex＝1⇒

15、x＝ln2.所以y＝ex的斜率为1的切线的切点是(ln2,1)，到直线y＝x的距离d＝.所以

16、PQ

17、min＝2×＝(1－ln2)，所以选B.答案：B二、填空题7．函数f(x)＝－x3＋mx2＋1(m≠0)在(0,2)内的极大值为最大值，则m的取值范围是__________．解析：f′(x)＝－3x2＋2mx＝x(－3x＋2m)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.∵x∈(0,2)，∴0＜＜2，∴0＜m＜3.答案：(0,3)8．用一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材

18、料隔成三个面积相等的矩形．(如图所示)，则围墙的最大面积是__________．(围墙厚度不计)解析：设矩形的宽为x，则矩形的长为200－4x.则面积S＝x(200－4x)＝－4x2＋200x，S′＝－8x＋200，令S′＝0，得x＝25，故当x＝25时，S取得最大值为2500(m2)．答案：2500m29．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则该商品零售价定为__________元时利润最大，利润的最大值为

19、__________．解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则y＝(p－20)Q＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000(p≥20)，∴y′＝－3p2－300p＋11700.令y′＝0得p2＋100p－3900＝0，∴p＝30或p＝－130(舍去)，则p，y，y′变化关系如下表：p(20,30)30(30，＋∞)y′＋0－y极大值↘∴当p＝30时，y取极大值为23000元．又y＝－p3＋150p2＋11700p－166000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最

20、值．∴该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23000元．答案：30　23000三、解答题10．(2012·北京)已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(