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《2014届高三数学一轮复习 (教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)专讲专练 5.4 平面向量的应用》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2014届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练):5.4 平面向量的应用一、选择题1.(2013·会昌中学月考)在△ABC中,=1,=2,则AB边的长度为( )A.1 B.3C.5D.9解析:由=1得
2、
3、cosA=1,由=2得
4、
5、cosB=2,∴
6、
7、=
8、
9、cosA+
10、
11、cosB=3.答案:B2.(2013·龙岩一中月考)设x,y∈R,i,j是直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若a=xi+(y+3)j,b=xi+(y-3)j且
12、a
13、+
14、b
15、=6,则点M(x,y)的轨迹是( )A.椭圆B.双曲
16、线C.线段D.射线解析:由a=xi+(y+3)j,b=xi+(y-3)j可得a=(x,y+3),b=(x,y-3).∵
17、a
18、+
19、b
20、=6,∴+=6,即点(x,y)到点(0,-3)、(0,3)的距离和为6,故轨迹为线段.答案:C3.(2013·深圳月考)河水的流速为2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( )A.10m/sB.2m/sC.46m/sD.12m/s解析:河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则
21、v1
22、=2,
23、v
24、=10,v⊥v1.∴v2=v-v1,v·v1=
25、0,∴
26、v2
27、====2.答案:B4.(2013·微山一中月考)若∀k∈R,
28、-k
29、≥
30、
31、恒成立,则△ABC的形状一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析:∵2-2=(+)·(-)=(++)·(+)=2·-2,故∀k∈R,
32、-k
33、≥
34、
35、恒成立可以转化为:∀k∈R,∴k22-2k·+2·-2≥0恒成立,令f(k)=k22-2k·+2·-2,f(x)≥0恒成立,则Δ≤0.∴(·)2-2(2·-2)≤0,∴a2c2cos2B-a2(2accosB-a2)≤0,由余弦定理得:c2cos2B-c2+b2≤0,由正弦定理得:
36、sin2C≥1,∴C=.答案:B5.已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题p1:
37、a+b
38、>1⇔θ∈p2:
39、a+b
40、>1⇔θ∈p3:
41、a-b
42、>1⇔θ∈p4:
43、a-b
44、>1⇔θ∈其中的真命题是( )A.p1,p4B.p1,p3C.p2,p3D.p2,p4解析:由
45、a+b
46、>1可得:a2+2a·b+b2>1,∵
47、a
48、=1,
49、b
50、=1,∴a·b>-,故θ∈.当θ∈时,a·b>-,
51、a+b
52、2=a2+2a·b+b2>1,即
53、a+b
54、>1;由
55、a-b
56、>1,可得:a2-2a·b+b2>1,∵
57、a
58、=1,
59、b
60、=1,∴a·b<,故θ∈,反之
61、也成立.答案:A6.已知
62、a
63、=2
64、b
65、≠0,且关于x的函数f(x)=x3+
66、a
67、x2+a·bx在R上有极值,则a与b的夹角范围为( )A.B.C.D.解析:f(x)=x3+
68、a
69、x2+a·bx在R上有极值,即f′(x)=x2+
70、a
71、x+a·b=0有两个不同的实数解,故Δ=
72、a
73、2-4a·b>0⇒cos〈a,b〉<.又〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉∈.答案:C二、填空题7.(2012·江苏)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是__________.解析:以A点为原点,AB所在直
74、线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,则=(,0),=(,1),设F(t,2)(0≤t≤),=(t,2),∵·=t=,∴t=1,所以·=(,1)·(1-,2)=.答案:8.(2012·上海)在平行四边形ABCD中,∠A=,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足=,则·的取值范围是__________.解析:如图,令=t,则0≤t≤1,=+=+t,=+=+(1-t),∴·=·+t
75、
76、2+(1-t)
77、
78、2+(t-t2)·=1+t+4(1-t)+t-t2=5-2t-t2=6-(t+1)2.∵0≤t≤1
79、,∴2≤·≤5.答案:[2,5]9.已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为切点,那么·的最小值为__________.解析:如图所示,设PA=PB=x(x>0),∠APO=α,则∠APB=2α,PO=,sinα=,·=
80、
81、·
82、
83、cos2α=x2(1-2sin2α)==.令·=y,则y=,即x4-(1+y)x2-y=0.∵x2是实数,∴Δ=[-(1+y)]2-4×1×(-y)≥0,y2+6y+1≥0,解得y≤-3-2或y≥-3+2.∴(·)min=-3+2.此时x=.答案:-3+2三、解答题10.在△ABC中,角A、B、C的对边
84、分别为a,b,c.若·=·=k(k∈R).(1)判断△ABC的形状;(2)若k=2,求b的值.解析:(1)∵·=cbcosA,·=bacosC,∴bc