2013届高考数学专题训练30 不等式选讲 理

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1、高考专题训练三十　不等式选讲(选修4－5)班级_______　姓名_______　时间：45分钟　分值：100分　总得分_______一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·合肥)设a、b为正数，且a＋b＝1，则＋的最小值是________．解析：本题考查均值不等式求最小值，按不同的变形方式的解法也有很多．最常见的解法：＋＝＋＝＋＋1＋＝＋＋≥＋2＝＋.答案：＋2．(2011·郑州)已知实数x、y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值是________．解析：本题考查圆锥曲线的参数方程、三角函数的和差角公式

2、等知识．所给不等式表示的区域为椭圆＋＝1及其边界部分．设椭圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，则P＝2cosθ＋sinθ＝sin(α＋θ)．故P的最大值为.答案：3．函数y＝＋的最大值为________．解析：由柯西不等式得＋≤＝.答案：4．(2011·广东深圳第二次调研)关于x的不等式

3、x－2

4、＋

5、x－a

6、≥2a在R上恒成立，则实数a的最大值是________．解析：本小题考查了绝对值的定义，令f(x)＝

7、x－2

8、＋

9、x－a

10、，当a>2时，易知f(x)的值域为[a－2，＋∞)，使f(x)≥2a恒成立，需a－2≥2a成

11、立，即a≤－2(舍去)．当a<2时，f(x)的值域为[2－a，＋∞)，使f(x)≥2a恒成立，需2－a≥2a成立，即a≤.当a＝2时，需

12、x－2

13、≥a恒成立，即a≤0(舍去)．综上a的最大值为.答案：5．(2011·东北三校)设a>b>0，x＝－，y＝－，则x、y的大小关系是x________y.解析：由x－y＝－－(－)＝－＝<0，所以x

14、x

15、＋

16、x－1

17、<2的解集是________．解析：根据绝对值的几何意义，可直接得到解集为.答案：7．(2011·济南)设函数f(x)

18、＝

19、x－4

20、＋

21、x－1

22、，则f(x)的最小值是________，若f(x)≤5，则x的取值范围是________．解析：函数f(x)＝，可分段求函数的最小值，得f(x)min＝3.解不等式组或或求并集得所求x的取值范围是[0,5]．答案：3　[0,5]二、解答题(共65分)8．(11分)如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点．设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．(1)将y表示为x的函数；(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？解：(1)y＝4

23、x－10

24、

25、＋6

26、x－20

27、,0≤x≤30.(2)依题意，x满足解不等式组，其解集为[9,23]．所以x∈[9,23]．9．(10分)(2011·辽宁)已知函数f(x)＝

28、x－2

29、－

30、x－5

31、.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．解：(1)证明：f(x)＝

32、x－2

33、－

34、x－5

35、＝当2

36、5－≤x<5}；当x≥5时，

37、f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x

38、5≤x≤6}，综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x

39、5－≤x≤6}．10．(11分)(2011·苏锡常镇卷)已知a，b是不相等的正实数．求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.证明：因为a，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥3＝3ab>0，当且仅当a2b＝a＝b2，即a＝b＝1时，等号成立；同理：ab2＋a2＋b≥3＝3ab>0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．因

40、为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.11．(11分)(2011·南通卷)已知函数f(x)＝

41、x－1

42、＋

43、x－2

44、.若不等式

45、a＋b

46、＋

47、a－b

48、≥

49、a

50、f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．解：由

51、a＋b

52、＋

53、a－b

54、≥

55、a

56、f(x)且a≠0得≥f(x)．又因为≥＝2，则有2≥f(x)．解不等式

57、x－1

58、＋

59、x－2

60、≤2得≤x≤.12．(11分)(2011·福建)设不等式

61、2x－1

62、<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)

63、由

64、2x－1

65、<1得，－1<2x－1<1，解得0

66、00.故ab＋1>a＋b.13．(11分)(2011·课标)设函数f(x)＝

67、x－a

68、＋3x，其中a