高考数学 专题练习 三十 不等式选讲 理

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1、高考专题训练三十　不等式选讲(选修4－5)班级_______　姓名_______　时间：45分钟　分值：100分　总得分_______一、填空题(每小题5分，共35分)1．(·合肥)设a、b为正数，且a＋b＝1，则＋的最小值是________．解析：本题考查均值不等式求最小值，按不同的变形方式的解法也有很多．最常见的解法：＋＝＋＝＋＋1＋＝＋＋≥＋2＝＋.答案：＋2．(·郑州)已知实数x、y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值是________．解析：本题考查圆锥曲线的参数方程、三角函数的和差角公式等知识．所给不等式表示的区域为椭圆＋＝1及其边界部分．

2、设椭圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，则P＝2cosθ＋sinθ＝sin(α＋θ)．故P的最大值为.答案：3．函数y＝＋的最大值为________．解析：由柯西不等式得＋≤＝.答案：4．(·广东深圳第二次调研)关于x的不等式

3、x－2

4、＋

5、x－a

6、≥2a在R上恒成立，则实数a的最大值是________．解析：本小题考查了绝对值的定义，令f(x)＝

7、x－2

8、＋

9、x－a

10、，当a>2时，易知f(x)的值域为[a－2，＋∞)，使f(x)≥2a恒成立，需a－2≥2a成立，即a≤－2(舍去)．当a<2时，f(x)的值域为[2－a，＋∞)，使f(x)≥2a恒成立，需2－

11、a≥2a成立，即a≤.当a＝2时，需

12、x－2

13、≥a恒成立，即a≤0(舍去)．综上a的最大值为.答案：5．(·东北三校)设a>b>0，x＝－，y＝－，则x、y的大小关系是x________y.解析：由x－y＝－－(－)＝－＝<0，所以x

14、x

15、＋

16、x－1

17、<2的解集是________．解析：根据绝对值的几何意义，可直接得到解集为.答案：7．(·济南)设函数f(x)＝

18、x－4

19、＋

20、x－1

21、，则f(x)的最小值是________，若f(x)≤5，则x的取值范围是________．解析：函数f(x)＝，可分段求函数的最小值，得f

22、(x)min＝3.解不等式组或或求并集得所求x的取值范围是[0,5]．答案：3　[0,5]二、解答题(共65分)8．(11分)如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点．设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．(1)将y表示为x的函数；(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？解：(1)y＝4

23、x－10

24、＋6

25、x－0≤x≤30.(2)依题意，x满足解不等式组，其解集为[9,23]．所以x∈[9,23]．9．(10分)(·辽宁)已知函数f(x)＝

26、x－2

27、－

28、x－5

29、.(1)证明：－3≤f(x)≤3；

30、(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．解：(1)证明：f(x)＝

31、x－2

32、－

33、x－5

34、＝当2

35、5－≤x<5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x

36、5≤x≤6}，综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x

37、5－≤x≤6}．10．(11分)(·苏锡常镇卷)已知a，b是不相等的正实数．求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.证明：因为a

38、，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥3＝3ab>0，当且仅当a2b＝a＝b2，即a＝b＝1时，等号成立；同理：ab2＋a2＋b≥3＝3ab>0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.11．(11分)(·南通卷)已知函数f(x)＝

39、x－1

40、＋

41、x－2

42、.若不等式

43、a＋b

44、＋

45、a－b

46、≥

47、a

48、f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．解：由

49、a＋b

50、＋

51、a－b

52、≥

53、a

54、f(x)且a≠0得≥f(x)．

55、又因为≥＝2，则有2≥f(x)．解不等式

56、x－1

57、＋

58、x－2

59、≤2得≤x≤.12．(11分)(·福建)设不等式

60、2x－1

61、<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)由

62、2x－1

63、<1得，－1<2x－1<1，解得0

64、00.故ab＋1>a＋b.13．(11分)(·课标)设函数f(x)＝

65、x－a

66、＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式

67、f(x)≤0的解集为{x